Question

Osią symetrii tego okręgu jest prosta o równaniu:

Odp. y-x=0

Proszę o obliczenia.

Answer 1

x^2-4x+4+y^2-4y+4=0

(x-2)^2+(y-2)^2=4

S=(2,2), r=2

 

Okrąg ma nieskończenie wiele osi symetrii, wystarczy aby prosta przochodziła przez środek tego okręgu

 

y=ax+b

2=2a+b

b=2-2a

y=ax+2-2a

a nalezy do liczb rzeczywistych

 

Answer 2

Rówanie ogólne okręgu o środku w punkcie S = (a, b) i promieniu r ma postać:

, gdzie

 

Zatem otrzymujemy:

 

Każda prosta przechodząca przez środek okręgu jest jego osią symetrii. Okrąg ma więc nieskończenie wiele osi symetrii.

 

Zatem każda prosta przechodząca przez środek okręgu, czyli przez punkt S = (2, 2) będzie osią symetrii tego okręgu.

Proste te utworzą pęk prostych przechodzących przez punkt S = (2, 2) i ich równania będą mieć postać:

y - 2 = m · (x - 2), gdzie m to współczynnik kierunkowych prostej

Stąd:

y - 2 = mx - 2m

y = mx - 2m + 2

Dla różnych wartości m otrzymamy równania różnych prostych przechodzących przez  środek okręgu S = (2, 2), czyli równania osi symetrii tego okręgu.

Z równania tego nie otrzymamy jednak prostej przechodzącej przez środek okręgu prostopadłej do osi OX, jej równanie to x = 2.

 

Np. Dla m = 1 otrzymamy:

y = 1·x - 2·1 + 2

y = x - 2 + 2

y = x

y - x = 0

ale trzeba pamiętać, że jest to jedna z wielu osi symetrii tego okręgu.