Question

Zadanie w załączniku. Proszę o obliczenia.

Odp. a) 0,4

b) 0,6

Answer 1

Ω - zdarzenie elementarne: dwukrotne wylosowanie bez zwracania liczb ze zbioru A = {- 2, - 1, 1, 2 , 3}, pierwsza wylosowana liczba to współczynnik a, druga to współczynnik b funkcji kwadratowej f(x) = ax² + b

 

|Ω| - liczba zdarzeń elementarnych to wariacja 2-elementowa bez powtórzeń utworzona ze zbioru 5-elementowego:

 

|Ω| możemy również obliczyć korzystając z reguły mnożenia: losując współczynnik a możemy go wybrać na 5 sposobów, bo zbiór A = {- 2, - 1, 1, 2 , 3} składa się z 5 liczb, a nastepnie losując współczynnik b możemy go wybrać na 4 sposoby, z pozostałych liczb zbioru A, zatem:

|Ω| = 5 · 4 = 20

 

 

a)

A - funkcja f jest malejąca w zbiorze <0, + ∞)

 

Z właśności funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c wiemy, że funkcja ta jest malejąca w zbiorze <p; + ∞), gdzie p = -b/2a (p - to pierwsza współrzędna paraboli będącej wykresem funkcji f), gdy a < 0

 

Dana jest funkcja f(x) = ax² + b

Wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji bedzie leżał na osi OY, bo współczynnik przy zmiennej x jest równy zero, czyli pierwsza współrzędna paraboli również będzie równa zero. Zatem ta funkcja będzie malejąca w zbiorze <0, + ∞) jeśli a < 0.

 

Obliczamy ilość zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A korzystając z reguły mnożenia:

Współczynnik a < 0 ze zbioru A = {- 2, - 1, 1, 2 , 3} możemy wybrać na 2 sposoby, bo w tym zbiorze są dwie liczby mniejsze od zera, współcznnik b możemy wybrać z pozostałych liczb czyli na 4 sposoby, zatem:

|A| = 2 · 4 = 8

 

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

 

Odp. Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 0,4.

 

 

b)

B - funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe

 

Z właśności funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c wiemy, że funkcja ta ma dwa różne miejsca zerowe, gdy Δ = b² - 4ac > 0

 

Dana jest funkcja f(x) = ax² + b

Δ = - 4ab

Δ > 0

Stąd:

- 4ab > 0 /:(- 4)

ab < 0

Zatem, aby dana funkcja f miała dwa różne miejsca zerowe, to iloczyn wylosowanych współczynników musi ujemny, czyli współczynniki muszą być liczbami o róznych znakach.

 

Obliczamy ilość zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B korzystając z reguły mnożenia oraz rozpatrując dwa przypadki:

- współczynnik a jest liczbą ujemną, w zbiorze A = {- 2, - 1, 1, 2 , 3} są dwie liczby ujemne, więc współczynnik a możemy wylosować na 2 sposoby oraz są trzy liczby dodatnie, więc współczynnik b możemy wylosować na 3 sposoby, zatem takich zdarzeń będzie 2 · 3 = 6

- współczynnik a jest liczbą dodatnią, w zbiorze A = {- 2, - 1, 1, 2 , 3} są trzy liczby dodatnie, więc współczynnik a możemy wylosować na 3 sposoby oraz są dwie liczby ujemne, więc współczynnik b możemy wylosować na 2 sposoby, zatem takich zdarzeń będzie 3 · 2 = 6

Wszystkich zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B jest:

|B| = 2 · 3 + 3 · 2 = 6 + 6 = 12

 

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:

 

Odp. Prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi 0,6.