Question

Oblicz sumę S₃₀ pierwszych trzydziestu wyrazów ciągu o wyrazie ogólnym bn=52-2n

Proszę o słowne komentarze objaśniające tok rozumowania.

Answer 1

Najpierw chciałbym wyjaśnić tok rozumowania na prostszych przykładach.

 

Dajmy na to, że zajmiemy się bardzo krótkim i prostym ciągiem liczb.

Niech to będzie: 1,2,3.

 

Jak byśmy chcieli to dodać, to oczywiście mamy 1+2+3.

Zauważ, że 1=2-1, a 3=2+1. No to do naszego ciągu wstawię 2-1 zamiast "1" oraz 2+1 zamiast 3.

 

 

Ponieważ to jest suma, to możemy te nawiasy zdjąć

 

 

+1-1 daje nam 0 dlatego możemy to zredukować (wykreślić)

 

 

teraz to dodawanie zamieniamy na mnożenie

 

 

Dlaczego tak przedstawiłem Ci rozwiązanie tego przykładu?

Dlatego, że stąd się bierze najważniejszy wniosek obliczania sumy ciągu arytmetycznego.

 

Zauważ, ze 2 jest średnią liczb 1 i 3.

 

W każdym ciągu możemy wyniki uśrednić oraz pomnożyć razy liczbę wyrazów ciągu.

 

Okej.

Spróbujmy więc zrobić to samo dla trochę dłuższego ciągu 1,2,3,4,5.

 

Oczywiście 1+2+3+4+5=15, ale obliczmy to naszym sposobem.

 

Liczymy średnią wyrazów pierwszego i ostatniego:

 

 

No i naszą średnią mnożymy razy liczbę wyrazów (czyli długość ciągu).

 

 

Jak widzisz... zgadza się.

 

Wnioski:

Co potrzbujemy do obliczenia sumy "n-pierwszych" wyrazów ciągu (gdzie "n" to jest jakaś liczba)?

 

Potrzebujemy:

a) wartość wyrazu pierwszego

b) wartość wyrazu ostatniego ("n-tego")

c) obliczenia średniej z tych wartości

d) informacji o długości ciągu.

 

Wracamy do naszego przykładu...

 

Co znaczy zapis

 

Ten zapis to jest tzw. wzór ogólny ciągu.

Dzięki temu możemy obliczyć każdy wyraz naszego ciągu.

 

Jak chcemy policzyć wyraz 1-wszy, to wstawiamy "1" zamiast "n".

Jak chcemy policzyć wyraz 2-gi, to wstawiamy "2" zamiast "n"

Jak chcemy policzyć wyraz 423-ci, to wstawiam "423" zamiast "n" :)

 

To teraz obliczmy naszą sumę.

 

Wracamy do informacji o tym czego potrzebujemy:

a) wyraz pierwszy (czyli )

 

 

 

b) wyraz ostatni (w naszym przypadku będzie to wyraz 30 - można to wyliczyć z tego )

 

 

c) średnią arytmetyczną wyrazów 1-wszego i ostatniego (czyli średnia a) i b))

 

 

d) informacji o długości ciągu - czyli 30.

 

No to teraz mnożymy c) i d) i mamy rozwiązanie.

 

 

Pozdrawiam.