Question

Oblicz pole trójkąta prostokątnego w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta oraz:
a) obwód tego trójkąta jest równy 6+2√3
b) różnica długości przeciwprostokątnej i krótszej przyprostokątnej jest równa 3+3√3

Answer 1

Oblicz pole trójkąta prostokątnego w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta oraz:
a) obwód tego trójkąta jest równy 6+2√3
b) różnica długości przeciwprostokątnej i krótszej przyprostokątnej jest równa 3+3√3

W trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych = 90°
α + β = 90°
z warunków zadania mamy;
α = 2β
czyli podstawiajac;
2β + β = 90°
3β = 90°/:3
β = 30°
czyli α = 60°
czyli jest to połowa trójkąta równobocznego (jak w trójkąci równobocznym "pociągniemy wysokość, to dzieli ona trójkąta na 2 trójkąty o katach 30°, 60°i oczywiście 90°.

W trójkącie o kątach: 30°, 60°, 90°boki maja długość:
a, 2a i a√3, gdzie
a√3 i a to przyprostokątne
2a to przeciwprostokątna.

wiemy, że obwód jest równy: 6+2√3
czyli:
6+2√3 = a + 2a + a√3
3a + a√3 = 6 + 2√3
a(3 + √3) = 6 + 2√3 /:(3 + √3) Obie strony dzielę
a = (6 + 2√3)/(3 + √3)
pozbywam się niewymierności w mianowniku korzystając ze wzoru:
(a-b)(a+b) = a²-b²
czyli licznik i mianownik muszę pomnożyć przez (3 - √3)
a = (6 + 2√3)*(3 - √3) / (3 + √3)*(3 - √3)
a = (18 -6√3 +6√3-6) /( 3² - √3²)
a = 12/(9-3)
a=12/6
a=2

Pole trójkąta prostokątnego obliczamy:
½ * iloczyn przyprostokątnych
P =½* a√3 * a
P = ½ *2√3 * 2
P = 2√3

b) różnica długości przeciwprostokątnej i krótszej przyprostokątnej jest równa 3+3√3

przeciwprostokątna: 2a
krótsza przyprostokątna: a√3
2a - a = 3+3√3
a) = (3+3√3)
a=3+3√3

a√3 = √3(3+3√3)
a√3 = 3√3 + 9
Przyprostokątne mają dł.
3+3√3 i 3√3 + 9

P = ½*(3+3√3)*(3√3 + 9) =½*(9√3 +27 +27 +27√3)= 36√3 + 54 =
= 6(6√3 +9)