Question

Z3/250 podręcznik matematyka wyd. nowa era
oblicz pole równoramiennego trójkąta prostokątnego, jeśli:
a) jego obwód jest równy 6(1+√2)
b) jego przeciwprostokątna jest o 1+ √2 dłuższa od przyprostokątnych.
proszę o dokładny opis bo mam to zrobić przy tablicy z góry dzięki:)

Answer 1

A) jego obwód jest równy 6(1+√2)
jest to trójkąt prostokątny równoramienny, wię jego obwód obliczamy:
Ob = x + x + y = 2x + y
gdzie
x - przyprostokątne
y - przeciwprostokątna
nie znamy długości przeciwprostokątnej, ani przyprostokątnych
Z tw. Pitagorasa:
x² + x² = y²
2x² = y² obie strony pierwiastkujemy
y = x√2
Podtawiamy dane do wzoru na obwód:

6(1+√2) = 2x + x√2
6(1+√2) = x(2 + √2) / dzielimy przez (2 + √2)
x = 6(1+√2)/(2 + √2)
pozbywamy się niewymierności z mianownika.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: a² - b² = (a + b)(a - b)

x = 6(1+√2)*(2 - √2)/(2 + √2)(2 - √2)
x = 6(2 - √2 + 2√2 - 2) / (2² - (√2)²)
x = 6√2 / (4 - 2)
x = 3√2
Pole trójkąta prostokatnego obliczamy mnożąc długości przyprostokątnych przez 2
P = ½ * x²
P = ½ * (3√2)² = ½ * 9 * 2 = 9

Ple tego trójkąta = 9

b)
jego przeciwprostokątna jest o 1+ √2 dłuższa od przyprostokątnych.
x - przyprostokątne
y - przeciwprostokątna
z warunków zadania:

y = x +(1 + √2)

Z tw. Pitagorasa:
x² + x² = y²
x² + x² =(x +(1+ √2))²
korzystamy ze wzoru: (a + b)² = a² +2ab + b²
2x² = x² + 2x(1+ √2) + (1+ √2)²
x² = 2x(1+ √2) + 1 + 2√2 + 2
x² = 2x + 2 x√2 + 2 √2 + 3
x² - 2x - 2 x√2 - 2 √2 - 3 = 0
x² - x(2 + 2√2 ) - (2√2 + 3) = 0
a = 1, b = -(2 + 2√2 ), c = - (2√2 + 3)
należy obliczyć
Δ = b² - 4ac
x₁ = (-b +√Δ) / 2a
x₂ = (-b -√Δ) / 2a