Question

oblicz pole P pierscienia kolowego ograniczonego okregiem wpisanym w trojkat ABC i okregiem opisanym na nimm gdy: a) A=(-5;5), B=(5;-5) ,C=(5;5),, b) trojkat ABC jest trojkatem rowno ramiennym ktorego podstawa AB ma długosc 12 a wysokosc Hc(poprowadzona z wierzchołka C) ma długosc 8,

Answer 1

Proszę wykonywać rysunki na podstawie czytanych niżej rozwiązań:

 

a)

Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o kącie prostym C. Jest więc połową kwadratu o boku 10. Promień okręgu opisanego jest połową długości przeciwprostokątnej lub wysokością trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną i wynosi:

  zaś promień okręgu wpisanego jest równy 1/4 przyprostokątnej, czyli r = 10/4 = 2,5.

Pole pierścienia to różnica pól okręgu opisanego i wpisanego:

 

b)

Środek O okręgu opisanego R wyznacza się z przecięcia symetralnych boków. W trójkącie równoramiennym ze wzgledu na symetrię znajduje się na wysokości opuszczonej na jego podstawę. Po narysowaniu promieni R powstanie trójkąt prostokątny OCE podobny do połowy trójkąta prostokątnego danego trójkąta, czyli np. do ADC, ponieważ ma 2 kąty jednakowe: proste oraz kąt ACD. Trójkąt ADC ma 1 przyprostokątną równą H=CD=8 oraz AD = AB/2 = 6 (połowa podstawy). Zatem AC z tw. Pitagorasa  jest równy Punkt E jest środkiem ramienia AC, więc EC = 5. Z podobieństwa trójkątów wynika:

EC: OC = CD : AC, przy czym CD = 8, OC = R, tj. szukany promień.

R = EC*AC:CD = 5*10:8 = 25/4

 

Środek W okręgu wpisanego także znajduje się na wysokości H=CD. Promień wyznaczamy rysując dwusieczne kątów i korzystając z podobieństwa trójkątów ADC oraz WGC, gdzie G jest punktem przecięcia promienia r z ramieniem AC. Zauważmy także, że GW=WD=r oraz oczywiście AD=AG. Ponieważ AD = 12/2=6, więc AG = 6 oraz GC = 10 - 6 = 4. Zpodobieństwa trójkątów mamy:

GW : GC = AD : CD, przy czym CD = 8, GW=r, tj. szukany promień.

r = AD*GC:CD = 6*4:8 = 3

 

Pole pierścienia to różnica pól okręgu opisanego i wpisanego: