Question

Oblicz pole i obwód :
a) prostokąta, jeśli jego przekątna wynosi 18, a kąt miedzy przekątną i krótszym bokiem wynosi 30 stopni
b) kwadratu o przekątnej 6
c) rombu o wysokości 15 i kącie ostrym 45 stopni
d) równoległoboku o bokach 5 i 12 oraz kącie ostrym 30 stopni
e) trapezu równoramiennego o podstawach 10 i 18 oraz ramieniu 5
f) koła opisanego na kwadracie o boku 24
g) koła wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 12

Answer 1

a) 

Na podstawie trójkąta charakterystycznego o kątach:30°, 60°, 90° otrzymujemy:

krótsza przyprotsokątna--- a = x√3,

dluższa przyprostokątna--- b = x,

przeciwprostokątna --------c = 2x

zatem

 

2a = 18

a = 9

b= 9√3

P = a * b = 9 * 9√3 = 81√3 

Ob = 2(a + b) = 2(9 + 9√3)

 

2 sposób:

sin30* = a / 18

1 / 2 = a / 18

2a = 18

a = 9

 

cos30* = b / 18

√3 / 2 = b / 18

2b = 18√3

b = 9√3

 

P = a * b = 9 * 9√3 = 81√3 

Ob = 2(a + b) = 2(9 + 9√3) 

 

b)

d = 6

a√2 = 6

a = 6√2/2

a = 3√2

 

P = a² = 1/2 * d²  = 1/2 * 6² = 1/2 * 36 = 18

Ob = 4 * a = 4 * 3√2 = 12√2

 

c) Wysokość rombu, bok rombu i kawaek podstawy tworzą trójkat prostokątny w którym jeden z kątów ma miarę równą 45*, czyli drugi kąt tego trójkąta też bedzie miał tę samą miarę, zatem powstał nam tam trójkąt prostokątny równoramienny. Przeciwprostokatna tego trójkata jets równa przekątnej kwadratu o boku h, zatem

 

a = d = h√2

a = d = 15√2 ----- bok rombu

P = a * h = 15√2 * 15 = 225√2

Ob = 4 * a = 4 * 15√2 = 60√2

 

2 sposób:

sin45* = 15 / a

√2 / 2 = 15 / a

2 * 15 = a * √2

a√2 = 30

a = 30/√2

a = 30√2/2

a = 15√2

 

P = a * h = 15√2 * 15 = 225√2

Ob = 4 * a = 4 * 15√2 = 60√2

 

d)

Na podstawie trójkąta charakterystycznego o kątach:30°, 60°, 90° otrzymujemy:

krótsza przyprotsokątna--- a = x√3,

dluższa przyprostokątna--- h = x,

przeciwprostokątna --------c = 2x

zatem

 

2x = 5

x = 2,5

 

h = 2,5

P = a * h = 12 * 2,5 = 30

Ob = 2(a + b) = 2(12 + 5) = 2 * 17 = 34

 

2 sposób:

sin30* = h / 5

1 / 2 = h / 5

2h = 5

h = 2,5

 

P = a * h = 12 * 2,5 = 30

Ob = 2(a + b) = 2(12 + 5) = 2 * 17 = 34

 

e)

(18 - 10) / 2 = 8 / 2 = 4

 

4² + h² = 5²

h² = 25 - 16

h² = 9

h = 3

 

P = 1/2 * (a + b) 8 h = 1/2 * (18 + 10) * 3 = 1/2 * 28 * 3 = 42

Ob = 18 + 10 + 2 * 5 = 28 + 10 = 38

 

f)

d = 2r

a√2 = 2r

24√2 = 2r

r = 12√2

 

P = πr² = π * (12√2)² = π * 144 * 2 = 288π

Ob = 2πr = 2π * 12√2 = 24√2π

 

g)

r = 1/3h

r = 1/3 * a√3/2

r = a√3/6

r = 12√3/6

r = 2√3

 

P = πr² = π * (2√3)² = π * 4 * 3 = 12π

Ob = 2πr = 2π * 2√3 = 4√3π

 

Answer 2

 

- prostąkąta jeśli jego przekątna wynosi 18, a kąt miedzy przekątną i krótszym bokiem wynosi 30*

dla  trójkąta 30° 60° 90° to krótsza przyprotsokątna = |a√3|, dluższa = |a|, a przeciwprostokątna = |2a|

 

 2a = 18

a = 9

 b= 9√3

O = 2*9 + 2* 9√3 = 18*(1+√3)

P = 9*9√3=81√3

-------------

-kwadratu o przekątnej 6

jak wiadomo przekątna kwadratu to a√2, więc

a√2 = 6

a = 6/ √2

a = 3√2

 

P = a²

P =  (6/ √2)² = 36/2

P = 18

O=  4*3√2 = 12√2

--------------------

-rombu o wysokości 15 i kącie ostrym 45*

rysujemy z któregoś wierzchołka wysokość, która dzieli nam romb na trójkąt prostokątny równoramienny (bo 45stopni w podstawie) i trapez prostokątny

podstawe możemy obliczyć  z tw. Pitagorasa

 

 

(trójkąt ten jest równoramienny)

15² + 15² = a²

a² = 2 * 15²

a = 15√2

 

P = ah 

P = 15√2 * 15

P = 225√2

 

O = 4*15√2 = 60√2

--------------------

-równoległoboku o bokach 5 i 12 oraz kącie ostrym 30*

Rysujemy wysokość , tak by powstał nam trójkąt prostokątny  (i trapez)

sin30 = 1/2

sin30 = h /5

1/2 = h / 5

h = 2,5

P = ah

P = 12*2,5

P = 30

O = 2(a + b) = 2(12 + 5) = 2 * 17 = 34

---------------

-trapezu równoramiennego o podstawach 18 i 10 oraz ramieniu 5

Rysujemy wysokości i z Pitagorasa liczymy wysokość (wiadomo, że przeciwprostokątną jest ramię, a jedną z przyprostokątnych oznaczmy sobie x)

x to jeden z dwóch takich samych odcinków odciętych od dłuższej podstawy, możemy go policzyć:

x = (18 - 10) /2

x = 8/2

x = 4

z Pitagorasa:

4² + h² = 5²

h² = 25- 16

h² = 9

h = 3

 

P = 1/2 (a + b) *h

P = 1/2 * (18 + 10) * 3

P = 3 * 14

P = 42

O = 18 + 10 + 2 * 5 = 28 + 10 = 38

----------------

-koła opisanego na kwadracie o boku 24 

wiadomo, że promień koła opisanego na kwadracie to połowa przekątnej kwadratu

r = 1/2 * a√2

r = 1/2 * 24√2

r = 12√2

P = πr^2

P =  π 144*2

P = 288 π

O = 2πr = 2π * 12√2 = 24√2π

----------------------

-koła wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 12 

wiadomo, że promień koła wpisanego w tr. równoboczny to 1/3 wysokości tego trójkąta

1/3h = r

h= a√3/2

h = 12√3 / 2

h = 6√3

r = 1/3 * 6√3

r = 2√3

P = πr²

P =  π (2√3)²

P = 12π

O = 2πr = 2π * 2√3 = 4√3π