Question

Sprawdź czy suma:

Jest podzielna lub niepodzielna przez 10, wynik uzasadnij.

Liczba jest podzielna przez 10 (sprawdziłem przez WolframAlpha :P), a cd.uzasadnienia to pomyślałem w ten sposób:

Jeżeli mamy potęgę, to wynik końcowy tejże potęgi na pewno będzie podzielny przez jej wykładnik (bo potęga to wielokrotność danej liczby). Suma wykładników obu potęg wynosi i jest podzielna przez 10, tak więc suma tych liczb takze będzie przez podzielna.

Lecz nie wiem czy to ma sens ;)

Answer 1

To nie ma sensu, bo już dla  ta teoria nie działa.

 

Tak naprawdę, trzeba wyliczyć te potęgi, ale jako że interesuje nas tylko ostatnia cyfra, to nie będzie to takie trudne.

 

Najpierw liczymy . Interesuje nas tylko to, co się dzieje z końcówką liczby, czyli tak naprawdę musimy policzyć .

Podnosząc trójkę do kolejnych potęg dostajemy listę:

3

9

27

81

243

729

2197

6561

19683

...

 

Zauważamy fajną zależność: powtarza się sekwencja ostatnich cyfr: 3,9,7,1.

Czyli teraz musimy dowiedzieć się, co będzie na 123. miejscu tej listy.

 

Ta liczba oznacza, że przewinie się 30 sekwencji, a w kolejnej zatrzyma się na trzeciej liczbie z tej sekwencji, czyli na 7.

 

Zatem liczba  jest zakończona cyfrą 7 (można sprawdzić w wolframie).

 

To samo robimy z liczbą .

Podnosimy 7 do potęg i tworzymy listę:

7

49

343

2401

16807

...

Czyli mamy powtarzające się sekwencje lcyfr: 7, 9, 3, 1.

Sprawdzamy co wypada na 67. miejscu:

Trzecia liczba tej sekwencji to 3.

 

Zatem liczba  jest zakończona cyfrą 3 (można sprawdzić w wolframie).

 

Na koniec sumujemy: 3+7=10. 

Z tego wynika, że  jest podzielne przez 10.