Question

NIECH P OZNACZA DOWOLNA LICZBE PIERWSZA. POKAZAC ZE PIERWIASTEK Z P JEST LICZBA NIE WYMIERNA, PROSZE O KROK PO KROKU!

Answer 1

Niech p będzie liczbą pierwszą (tzn. jeśli p jest dzielnikiem iloczynu a . b, to p dzieli co najmniej jeden z czynników - a lub b). Co by było, gdyby x =  było liczbą wymierną? Można by było zapisać x jako ułamek nieskracalny:

 

x = 

 

z naturalnymi n, m. Z określenia liczby x wynika, że x2 = p, czyli

 

 = 2

 

czyli

 

m2 = p . n2.

 

Jak widać, liczba m2 dzieli się przez p, ale jest iloczynem: m2 = m . m, więc jeden z czynników (m albo m albo oba na raz :-) ) musi się dzielić przez p. Niech m = k . p. Wstawiamy tę wartość do wyprowadzonej równości:

 

(pk)2 = pn2

 

skąd

 

(p2) . (k2) = pn2,

 

dzielimy obustronnie przez p:

 

p . k2 = n2

 

i okazuje się - na tej samej zasadzie, co w przypadku m - że n dzieli się przez p. To oznacza, że i licznik, i mianownik nieskracalnego ułamka m/n dzielą się przez p - czyli ułamek jest skracalny. Z zalożeń wywnioskowaliśmy zdanie sprzeczne z założeniami. Obliczenia są w porządku, więc sprzeczność bierze się z założenia, że x można zapisać jako ułamek nieskracalny - czyli z założenia, że x jest liczbą wymierną.

Answer 2

p - liczba pierwsza z założenia dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie (1 nie jest liczbą pierwszą)

P(p) należy do zbioru liczb niewymiernych

Powołując się na zalożenie dotyczące liczb pierwszych można stwierdzić że żadna liczba nie zostanie wyciągnieta spod pierwiastka a co za tym idzie P(p) jest liczbą niewymierną gdyż nie można jej przedstawić w postaci ułamka