Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A=(2,1), B=(-2,3), C=(1,3).Pan Kowalsk.... Question from @krecik195

September 2018 1 65 Report

Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A=(2,1), B=(-2,3), C=(1,3).

Pan Kowalski zastanawia się nad wyborem operatora sieci telefoni komórkowej. Operator I proponuje za każdy impuls 40groszy i brak abonamentu. Operator II proponuje abonament w wysokości 36zł miesięcznie oraz 10 groszy za impuls.
a)Dla każdego operatora zapisz wzór przedstawiający zależnośc między miesięczną opłatą za telefon a liczbą wykorzystanych w miesiącu impulsów.

rezzy

Skoro okrąg jest opisany na trójkącie ABC, to znaczy,że równanie okręgu musi przechodzić przez wszystkie trzy punkty. Skoro przechodzi, to znaczy, że dla tych punktów równanie okręgu musi być spełnione:

Zapiszmy więc równanie okręgu:

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$

Teraz ustalamy, aby dla każdego z trzech punktów równanie było prawdziwe. Po prostu podstawiamy współrzędne x i y tych punktów otrzymując układ trzech równań nieliniowych:

$(2-x_0)^2 + (1-y_0)^2 = r^2$

$(-2-x_0)^2 + (3-y_0)^2 = r^2$

$(1-x_0)^2 + (3-y_0)^2 = r^2$

Warto je teraz rozpisać, bo może da się jakoś nimi pomanipulować:

$x_0^2 + y_0^2 - 4x_0 - 2y_0 + 5 = r^2$

$x_0^2 + y_0^2 + 4x_0 - 6y_0 + 13 = r^2$

$x_0^2 + y_0^2 - 2x_0 - 6y_0 + 10 = r^2$

Widzimy, że możemy od drugiego równania odjąć pierwsze i od drugiego trzecie uzyskując dwa nowe równania:

$8x_0 - 4y_0 + 8 = 0$

$6x_0 + 3 = 0$

Otrzymujemy dwa równania i dwie niewiadome, z czego jedną łatwo policzyć. Obliczmy najpierw x0:

$6x_0 + 3 = 0$

$x_0 = -\frac{1}{2}$

Teraz bazując na tym obliczmy y0:

$8x_0 - 4y_0 + 8 = 0$

$-4 - 4y_0 + 8 = 0$

$4y_0 = 4$

$y_0 = 1$

Otrzymujemy więc:

$x_0 = -\frac{1}{2}$

$y_0 = 1$

Mając te dwie wartości możemy teraz podstawić je do jednego z trzech równań by obliczyć r. Weźmy pierwsze z brzegu:

$x_0^2 + y_0^2 - 4x_0 - 2y_0 + 5 = r^2$

i podstawmy wyliczone x0 i y0:

$\frac{1}{4} + 1 + 2 - 2 + 5 = r^2$

$\frac{1}{4} + 6 = r^2$

$\frac{25}{4} = r^2$

$r = \frac{5}{2}$

Mamy już wartości. Możemy je teraz podstawić do ogólnego równania otrzymując równanie okręgu przechodzącego przez te trzy punkty:

$\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-1\right)^2 = \frac{25}{4}$

Teraz już można się bawić i przekształcać. Przy okazji nie tylko uzyskaliśmy równanie okręgu, ale mamy od razu współrzędne środka i jego promień.

Zad 2:

-------------------

n - liczba impulsów

Z(n) - zapłata miesięczna

$Z_I(n) = 0.4n$

$Z_{II}(n) = 36 + 0.1n$

To w sumie tyle, chyba, że zadanie jest niepełne. Jakby chcieć policzyć dla jakiej ilości impulsów operator 2 zaczyna się bardziej opłacać to wystarczy przyrównać te wartości:

$36 + 0.1n < 0.4n$