Question

nalezy wyznaczyc wartosci m, dla ktorych nierown. jest spelniona przez kazda liczbe rzeczywista. prosze o przejrzysty zapis

(m^2 + 4m - 5)x^2 -2(m-1)x + 2 <0

Answer 1

Mamy tu nierówność kwadratową o postaci:

ax^2 + bx + c <0, gdzie

a = m^2 + 4m - 5

b = -2(m-1)

c = 2

Ponieważ wartość funkcji ma być zawsze mniejsza od zera, to parabola będzie znajdować się w całości pod osią x.

 

Z własności paraboli wynika, że znajduje się ona w całości pod osią x, gdy:

1. współczynnik a jest <0

2. delta równania kwadratowego jest < 0 (nie ma miejsc zerowych).

 

1.

m^2 + 4m - 5 < 0

delta m = 16 + 20 = 36

m1 = (-4-6)/2 = -5

m2 = (-4+6)/2 = 1

Przy m^2 mieliśmy współczynnik dodatni, czyli nierówność jest spełnione dla m należącego do przedziału (-5, 1).

 

2.

delta x = [-2(m-1)]^2 - 4*(m^2 + 4m - 5)*2 =

= 4m^2 - 8m + 4 - 8m^2 - 32m + 40 = -4m^2 - 40m + 44

Tak wyliczona delta x musi być mniejsza od zera:

 

-4m^2 - 40m + 44< 0

-m^2 - 10m + 11 < 0

 

Szukamy miejsc zerowych delty x. Liczymy kolejną deltę (deltę m)dla powyższego równania:

delta m = 100 + 4*11 = 144

m1 = (10-12)/-2 = 1

m2 = (10+12)/-2 = -11

 

Współczynnik przy m^2 jest ujemny, więc delta x jest mniejsza od zera w przedziałach (-niesk., -11) oraz (1, +niesk.).

 

Przedziały uzyskane w ppkt. 1 i 2 nie pokrywają się, zatem nie ma takiego m, dla którego dla każdego x nierówność jest spełniona.