Question

Zbadaj monotoniczność ciągu an=1/n-1/n+1

Answer 1

            1           1    

a(n) = ------- - ----------          Należy zbadać znak różnicy    a( n+1)  - a(n).

            n         n + 1

 

                    1                  1             1                 1

a(n+1) = ----------  -  ------------- = ---------  - ----------

                 n  + 1        n+ 1 + 1       n+1          n+2

 

                            1              1           1             1                   2           1           1

a(n+1) - a(n) = ---------- - --------- - ------ + ------------ =  ---------- - --------- - ------- =

                           n + 1       n + 2      n          n + 1             n + 1      n + 2       n

 

      2n(n+2) -n(n+1) - (n+1)(n+2)            2n² +4n -n² -n -n² -2n -n -2             -2

 = -------------------------------------------- = ---------------------------------------  = ------------------- < 0

                  n(n+1)(n+2)                                      n(n+1)(n+2)                       n(n+1)(n+2) 

 

   Badana różnica jest ujemna  (gdyż licznik jest ujemny, a mianownik jest dodatni , ponieważ n∈N⁺ ), więc dany ciąg jest malejący.