Question

1. wyznacz a2, a3, a4 ciągu określonego rekurencyjnie: a1=5
a(n+1)=2an+3

2.oblicz 6 początkowych wyrazów ciągu danego wzorem an= n+3 /n

3. odkryj regule wyznaczania wyrazów ciągu i podaj dwa kolejne jego wyrazy: (1, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5....)

4 określ monotoniczność ciągu określonego wzorem an=-2n+3 dla n należących do N(dodatnich)

5.sprawdz czy ciąg an dany wzorem ogólnym an=7n-3 jest ciągiem arytmetycznym

6. oblicz brakujący wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc że dane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego: 4,z,1

7. oblicz wyrazy a3, a5, a8 ciągu arytmetycznego an jesli a1=8 a jego różnica wynosi 8

8. oblicz trzy początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego jesli a1=3 i a5-a4=6

9.oblicz sume Sn pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego jezeli a1=6, a15=62, n=15

10.nieskonczony ciąg liczbowy an jest określony wzorem an=2-1/n dla n=1,2,3......
a)oblicz ile wyrazów ciągu an jest mniejszych od 1,975
b) dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (a2, a7, x) jest arytmetyczny - oblicz x


z góry bardzo dziękuję za pomoc

Answer 1

Zad 1. wyznacz a2, a3, a4 ciągu określonego rekurencyjnie:
a₁=5
a(n+1)=2an+3

a₂=2a₁+3 = 10+3=13
a₃=2a₂+3= 26+3=29
a₄=2a₃+3=58+3=61


zad 2.oblicz 6 początkowych wyrazów ciągu danego wzorem
an= n+3/n

a₁=(1+3)/1=4
a₂=(2+3)/2=5/2
a₃=(3+3)/3=2
a₄=(4+3)/4=7/4
a₅=(5+3)/5=8/5
a₆=(6+3)/6=9/6=3/2


3. odkryj regule wyznaczania wyrazów ciągu i podaj dwa kolejne jego wyrazy: (1, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5....)

kolejne wyrazy ciągu opisane są wzorem rekurencyjnym:
a₁=1
an=(n-1)/n
dwa kolejny wyrazy: 5/6, 6/7


zad 4. określ monotoniczność ciągu określonego wzorem an=-2n+3 dla n należących do N(dodatnich)

a(n+1)=-2(n+1)+3=-2n-2+3=-2n+1
r=a(n+1)-an= (-2n+1)-(-2n+3)=-2n+1+2n-3=-2
r<0 stąd wynika że ciąg ten jest malejący(arytmetyczny ponieważ r nie jest uzależnione od zmiennej n)


zad 5.sprawdź czy ciąg an dany wzorem ogólnym an=7n-3 jest ciągiem arytmetycznym

a(n+1)=7n+7-3=7n+4
r=a(n+1)-an=7n+4-7n+3=7

odp. Ciąg jest arytmetyczny ponieważ różnica(r) pomiędzy kolejnymi wyrazami jest stała(niezależna od n) równa 7.


6. oblicz brakujący wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc że dane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego: 4,z,1

pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest stała różnica r, stąd mamy równość:
z-4=1-z
2z=5
z=2,5


7. oblicz wyrazy a3, a5, a8 ciągu arytmetycznego an jeśli a1=8 a jego różnica wynosi 8

wzór ogólny: an=a₁+(n-1)*r
an=8+(n-1)*8=8+8n-8=8n
a₃=8*3=24
a₅=8*5=40
a₈=8*8=64


zad 8. oblicz trzy początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego jeśli a1=3 i a5-a4=6

a₁=3
a₅-a₄=r=6
wzór ogólny: an=3+(n-1)*6=3+6n-6=6n-3
a₁=6*1-3=6-3=3
a₂=6*2-3=12-3=9
a₃=6*3-3=18-3=15


9.oblicz sume Sn pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego jezeli a1=6, a15=62, n=15

S₁₅=((a₁+a₁₅)/2)*15=((6+62)/2)*15=(68/2)*15=34*15=510


10.nieskończony ciąg liczbowy an jest określony wzorem an=2-1/n dla n=1,2,3......
a)oblicz ile wyrazów ciągu an jest mniejszych od 1,975
b) dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (a2, a7, x) jest arytmetyczny - oblicz x

a)2-1/n<1,975
-1/n<-0,025 /*(-n)
1<0,025n /*40
n<40
odp. wyrazów mniejszych od 1,975 jest 39.

b)pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest stała różnica r, stąd mamy równość:
(a₁+(7-1)*r)-(a₁+(2-1)*r)=x-(a₁+(7-1)*r)
a₁+6r-a₁-r=x-a₁-6r
5r=x-a₁-6r
a₁+11r=x
a₁+(12-1)*r=x
x=a₁₂