Matematyka rozszerzona klasa 3 liceum: wielomiany i funkcja kwadratowa 1. Rozważmy równanie x^2 − (m.... Question from @SkrzatGdzie

December 2018 1 218 Report

Matematyka rozszerzona klasa 3 liceum: wielomiany i funkcja kwadratowa

1. Rozważmy równanie x^2 − (m + 2)x + m^2 = m − 2 z niewiadomą x. Funkcja f przyporządkowuje każdej wartości parametru m, dla której istnieją pierwiastki x1, x2 tego równania, liczbę x1^3 +x2^3 + 2(x1+x2)^3. Wyznacz
zbiór wartości funkcji f.

2. Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których wielomian
W(x)= (x^2+x-6)*[(k-2)x^2-(k+3)x-4] ma cztery różne pierwiastki.

3. Wyznacz te wartości parametru m, m∈ ℝ, dla których iloczyn kwadratów pierwiastków równania (m − 1)x^2 - (m − 1)x + 5 − 2m = 0 jest równy sumie tych pierwiastków. Wyznacz te pierwiastki.

4. Dla jakich wartości parametru m, m∈ ℝ, istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 równania x^2 − (m + 7)x + m + 6 = 0 spełniające nierówność (x1 + x2)^2 ≥ 6x1x2 − 2?

5. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, m∈ ℝ, dla których nierówność
(4 − m^2)x^2 − 2(m − 2)x + 1 > 0 jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych.

6. Dla jakich wartości parametru m, m ∈ ℝ, dziedziną funkcji f(x) = √(m^2 + 5m−6)x^2+ (m − 1)x + 1 jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych? (PIERWIASTEK OBEJMUJE CAŁĄ FUNKCJĘ!)

7. Dla jakich wartości parametru m, m∈ ℝ, równanie m^2x^3 − (6m + m^2)x^2 + (m+6)x = 0 ma trzy różne pierwiastki nieujemne?

8. Dla jakich wartości parametru m, m ∈ ℝ\{0}, równanie 1/m*x^4 +(3-m)x^2+m^2=0 ma cztery różne pierwiastki?

^ oczywiście oznacza kwadrat

dominnio

Zadanie 1

$x^2 - (m + 2)x + m^2 = m - 2\\x^2-(m+2)x+m^2-m+2=0\\\Delta=b^2-4ac=(m+2)^2-4(m^2-m+2)=\\=m^2+4m+4-4m^2+4m-8=-3m^2-4\\-3m^2+8m-4 \geq 0\\\Delta_2=64-48=16\\m_1= \frac{-12}{-6}=2\\m_2= \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$
Wiemy już, że funkcja f ma pierwiastki gdy $m\in ( \frac{2}{3},2 )$

$x_1^3 +x_2^3 + 2(x_1+x_2)^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)+2(x_1+x_2)^3= \\= (\frac{-b}{a} )^3-3\frac{c}{a}\frac{-b}{a}+2(\frac{-b}{a})^3=(\frac{m+2}{1} )^3-3\frac{m^2-m+2}{1}\frac{m+2}{1}+2(\frac{m+2}{1})^3=\\=3({m+2} )^3-3{(m^2-m+2)}{(m+2)}=\\=3(m+2)((m+2)^2-(m^2-m+2))=\\=3(m+2)(m^2+4m+4-m^2+m-2)=\\=3(m+2)(5m+2)$

Pytanie brzmiało Jaki jest zbór wartości powyższej funkcji, to znaczy jaka jest największa i najmniejsza wartość. Pierwiastki równania istnieją tylko dla $m\in( \frac{2}{3},2 )$ , w tym przedziale funkcja ta rośnie. Zatem:
$y_{min}=3( \frac{2}{3} +2)(5*\frac{2}{3}+2)=42 \frac{2}{3} \\ y_{max}=3( 2 +2)(5*2+2)=144\\Z_w=[42 \frac{2}{3};144]$

Zadanie 2

$W(x)= (x^2+x-6)*[(k-2)x^2-(k+3)x-4] \\W(x)=(x+3)(x-2)*[(k-2)x^2-(k+3)x-4]$
Dwa pierwiastki już mamy. Będziemy szukać dwóch pozostałych pamiętając, że mają być różne od siebie i od pozostałych.
$(k-2)x^2-(k+3)x-4 = 0\\\Delta=(k+3)^2-4(k-2)(-4)=k^2+6k+9+16k-32=\\=k^2+22k-23=(k+23)(k-1)\\(k+23)(k-1)>0\\k\in(-\infty;-23)\cup(1;\infty)$
Dla $k=2$ równanie staje się liniowe i może mieć tylko 3 pierwiastki, więc odrzucamy je ze zbioru rozwiązań.
$(k-2)x^2-(k+3)x-4\\x_1= \frac{k+3- \sqrt{(k+23)(k-1)} }{2(k-2)} \neq 2 \\k+3- \sqrt{(k+23)(k-1)} \neq 4(k-2)\\- \sqrt{(k+23)(k-1)} \neq 4k-8-k-3\\ \sqrt{(k+23)(k-1)} \neq -3k+11\\(k+23)(k-1) \neq (11-3k)^2\\k^2+22k-23 \neq 121-66k+9k^2\\0 \neq 8k^2-88k+144\\0 \neq k^2-11k+18\\0 \neq (k-2)(k-9)\\k \neq 2\ \ k \neq 9$
Te równania rozwiązuje metodą starożytnych, nie tworze założeń tylko na końcu sprawdzam czy wynik spełnia równanie.

$(k-2)x^2-(k+3)x-4\\x_2= \frac{k+3+ \sqrt{(k+23)(k-1)} }{2(k-2)} \neq 2 \\k+3+\sqrt{(k+23)(k-1)} \neq 4(k-2)\\ \sqrt{(k+23)(k-1)} \neq 4k-8-k-3\\ \sqrt{(k+23)(k-1)} \neq 3k-11\\(k+23)(k-1) \neq (3k-11)^2\\k^2+22k-23 \neq 121-66k+9k^2\\0 \neq 8k^2-88k+144\\0 \neq k^2-11k+18\\0 \neq (k-2)(k-9)\\k \neq 2\ \ k \neq 9$

Przy czym w obu przypadkach $> nie należą do swojej dziedziny. (Co okazało się po sprawdzeniu.) <img src=$
Przy czym $k=2$ nie należy do dziedziny.

$\x_2= \frac{k+3- \sqrt{(k+23)(k-1)} }{2(k-2)} \neq -3\\ -\sqrt{(k+23)(k-1)} } \neq -6(k-2)-k-3\\ \sqrt{(k+23)(k-1)} \neq 7k-9\\k^2+22k-23=81-126k+49k^2\\0 \neq 48k^2-148k+104\\k=2\ \ \ k= \frac{13}{12}$
Oba wyniki nie należą do dziedziny.

Ostatecznie:
$k\in(-\infty;-23)\cup(1;\infty)-\{2\}-\{ \frac{13}{12} \}$

Zadanie 3

$(m - 1)x^2 - (m - 1)x + 5 - 2m = 0 \\(x_1x_2)^2=x_1+x_2\\ \frac{c^2}{a^2}= \frac{-b}{a} \\ \frac{25-20m+4m^2}{m^2-2m+1}= \frac{m-1}{m-1} \\ 25-20m+4m^2=m^2-2m+1\\3m^2-18m+24=0\\m^2-6m+8=0\\(m-4)(m-2)=0\\m_1=4\ \ \ m_2=2\\\Delta >0\\m^2-2m+1-4(m-1)(5-2m)=\\=m^2-2m+1-4(-2m^2+7m-5)=9m^2-30m+21=\\=9(m-1)(m- \frac{7}{3} )\\m\in(-\infty,1)\cup( \frac{7}{2},\infty )$

Zatem rozwiązanie $m=2$ nie należy do dziedziny.
$m=4\\ 3x^2 - 3x -3 = 0\\x^2-x-1=0\\(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2})(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2})=0$

Zadanie 4

$x^2 - (m + 7)x + m + 6 = 0 \\\Delta>0\\m^2+14m+49-4m-24=m^2+10m+25\\=(m+5)^2$
Jak się okazuje to równanie zawsze ma dwa pierwiastki, za wyjątkiem $m=-5$ .
$(x_1 + x_2)^2 \geq 6x_1x_2 - 2\\ (\frac{-b}{a})^2 \geq 6( \frac{c}{a} ) -2\\ m^2+14m+49 \geq 6m+34\\m^2+8m+15 \geq 0\\(m+3)(m+5) \geq 0\\m\in(-\infty,-5)\cup[-3,\infty)$

Zadanie 5

$(4 - m^2)x^2 - 2(m - 2)x + 1 > 0 \\\Delta=4(m^2-4m+4)-4(4-m^2)(1)=\\=4m^2-16m+16-16+4m^2=8m^2-16m\\ \Delta<0\ \ \ \ a>0\\8m(m-2)<0\\4-m^2>0\\4>m^2\\m<2\ \ \ \ m>-2\\m\in(0,2)$

Zadanie 6

$\sqrt{(m^2 + 5m-6)x^2+ (m - 1)x + 1}\\(m^2 + 5m-6)x^2+ (m - 1)x + 1 \geq 0\\\Delta=m^2-2m+1-4m^2-20m+24=-3m^2-22m+25\\\Delta<0 \ \ \ \ a>0\\\Delta_2=484+300=784\\\sqrt{\Delta}=28\\m_1=1\\m_2= \frac{-22-28}{6}= -\frac{25}{2}\\m^2+5m-6>0\\(m-1)(m+6)>0\\m\in(- \frac{25}{2},-6 ) +\{1\}$

Zadanie 7

$m^2x^3 - (6m + m^2)x^2 + (m+6)x = 0\\x(m^2x^2-(6m+m^2)x+(m+6))=0\\\Delta>0\\x_1x_2>0\\x_1+x_2>0\\x_1 \neq x_2 \neq 0\\\Delta=36m^2+12m^3+m^4-4m^3-24m^2=m^2(m^2+8m+12)=\\=m^2(m+6)(m+2)\\m\in(-\infty,-6)\cup(-2,0)\cup(0,\infty)\\ \frac{c}{a}>0\\ \frac{m+6}{m^2} >0\\m+6>0\\m>-6\\ \frac{-b}{a}>0\\6m+m^2>0\\m(m+6)>0$

$x_1 \neq 0\\ \frac{6m+m^2- \sqrt{\Delta} }{2m^2} \neq 0 \\6m+m^2- \sqrt{\Delta} \neq 0\\ \sqrt{\Delta} \neq 6m+m^2\\m^4+8m^3+11m^2 -6m \neq 0\\m(m^3+8m^2+11m-6) \neq 0\\m(m+6)(m+1- \sqrt{2} )(m+1+ \sqrt{2} )$
Żadna z tych liczb nie zawęża nam wyniku
$> Te również nic nie zmieniając więc<img src=$

Zadanie 8

$1/m*x^4 +(3-m)x^2+m^2=0\ \ \ \ \ \ m\in R-\{0\}\\t=x^2\\ 1/m*t^2 +(3-m)2+m^2=0\\\Delta=9-6m+m^2-4(m^2)( \frac{1}{m} )=\\=m^2-10m+9=(m-9)(m-1)\\\Delta>0\\m\in (-\infty, 1)\cup(9,\infty)$
Ale to nie wszystkie założenia ponieważ t, które podstawiliśmy mogły wyjść ujemne dlatego równanie musi spełniać jeszcze dwa warunki:
$x_1+x_2=\frac{-b}{a}>0 \\x_1x_2= \frac{c}{a}>0\\ 1/m*x^4 +(3-m)x^2+m^2=0\\(m-3)m>0\\m^2m>0$
W konsekwencji pozostaje przedział $m\in(9,\infty)$