Question

Metoda indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n:
a) liczba 5^5n-2 + 3 jest podzielna przez 4 (5n-2 to wykładnik tylko nie mialem mozliwosci tego tutaj zapisać)
b) liczba 4^n + 15n -1 jest podzielna przez 9
c) liczba n^3 + 17n jest podzielna przez 6

Powinienem zrobić to z tw: ∀n∈N+ istnieje t ∈ N takie, że np to 5^5n-2 + 3 = 4t

Answer 1

A) liczba 5^5n-2 + 3 jest podzielna przez 4 (5n-2 to wykładnik tylko nie mialem mozliwosci tego tutaj zapisać)

dla n=1 mamy
5^(5*1-2) + 3 = 5^3 + 3 = 125 + 3 = 128 - jest podzielne przez 4
załóżmy, że dla n teza jest prawdziwa, chcemy pokazać tezę dla n+1
5^(5*(n+1)-2) + 3 =
= 5^(5n+5-2) + 3 =
= 5^(5n-2+5) + 3 =
= 5^(5n-2) * 5^5 + 3 =
= 5^(5n-2) * 3125 + 3 =
= 3124 * 5^(5n-2) + 5^(5n-2) + 3 =
= 4 * 781 * 5^(5n-2) + (5^(5n-2) + 3) =
to ^ dzieli się przez 4 to też, z założenia, czyli OK


b) liczba 4^n + 15n -1 jest podzielna przez 9

dla n = 0
4^n + 15n - 1 = 4^0 + 15*0 - 1 = 1 + 0 - 1 = 0 - dzieli sie przez 9
Załóżmy, że dla n jest ok, pokażemy że dla n+1 też jest ok

4^(n+1) + 15(n+1) - 1 =
= 4 * 4^n + 15n + 15 - 1 =
= 3 * 4^n + 15 + 4^n + 15n -1 =
= 3*4^n + 15 + (4^n + 15n - 1) =
... trzeba jeszcze pokazać, że 3*4^n+15 dzieli się przez 9
na pewno dzieli się przez 3, bo 3*4^n+15 = 3*(4^n+5)
Zatem wystarczy pokazać, że 4^n+5 dzieli się przez 3...

To też zrobimy indukcyjnie...
dla n=0 jest ok, bo 4^0 + 5 = 1 + 5 = 6 - dzieli sie przez 3
4^(n+1)+5 = 4*4^n+5 = 3 * 4^n + 4^n + 5 =
= 3*4^n + 4^n+5
to sie dzieli przez 3 to też z założenia

czyli 4^n+5 dzieli się przez 3, zatem 3*4^n + 15 dzieli się przez 9
zatem 4^(n+1) + 15(n+1) - 1 dzieli się przez 9



c) liczba n^3 + 17n jest podzielna przez 6

dla n=0 mamy
n^3 + 17n = 0 + 0 = 0 - dzieli się przez 6

zakładamy, że n^3+17n dzieli się przez 6, spróbujemy pokazać, że dla n+1 też tak jest:

(n+1)^3 + 17(n+1) =
= n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 17n + 17 =
= n^3 + 17n + 3n^2 + 3n + 1 + 17 =
= n^3 + 17n + 3n(n+1) + 18 =
to z założania ind. * 18 dzieli się przez 6 :)

* 3n(n+1) dzieli się przez 6, bo dzieli się przez 3 (oczywiste) oraz przez 2 (bo w iloczynie n(n+1) mamy dwie kolejne liczby naturalne, a jedna z nich na pewno jest parzysta)

Answer 2

A) 5^(5n-2) + 3 jest podzielna przez 4
1) n = 1, wtedy 5^(5-2) + 3 = 5^3 + 3 = 125 + 3 = 128 = 4*32

2) zakładamy, że dla dowolnej liczby n > 1, liczba
5^(5n-2) +3 jest podzielna przez 4, zatem
5^(5n -2) + 3 = 4k, gdzie k jest liczba naturalną.
Obliczam dla n+1
5^[5(n+1] -2 + 3 = 5^(5n+5-2) + 3 =( 5^5)*[ 5^(5n -2) + 3]=
= 5^5 *[ 5^(5n -2) +3] - 9372 = 5^5 *4k - 4*2343 = 4*[5^5*k - 2343]
- liczba podzielna przez 4.
Ze względu na dowolność n mamy koniec dowodu.
b)
4^n + 15n - 1 jest podzielna przez 9
1) n = 1,wtedy 4^1 +15 -1 = 18 = 9*2
2) zakładamy, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 1,
liczba 4^n + 15n - 1 jest podzielna przez 9, czyli
4^n + 15n - 1 = 9*k
Obliczamy dla n+1
4^(n+1) +15(n+1) - 1= 4*4^n + 15n + 15 -1 = 4*4^n +15n +14 =
=4*[4^n + 15n - 1] -45n +18 = 4*[9*k] -9(5n -2) =
= 9*[4k - (5n -2)] - liczba podzielna przez 9
Ze względu na dowolność n mamy koniec dowodu.
c)
n^3 + 17 n - jest podzielna przez 6
1) n =1 , wtedy 1^3 + 17 = 1+17 = 18 = 6*3
2) zakładamy, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 1 liczba
n^3 + 17n jest podzielna przez 6, czyli
n^3 + 17n = 6k
Obliczam dla n+1
(n+1)^3 + 17(n+1) =[ n^3 +3n^2 +3n +1 ] + 17n + 17 =
= (n^3 + 17n) + ( 3n^2 +3n +18) = 6k + 3*(n^2 +n +6)
Ponieważ n^2 +n +6 jest liczba parzysta ( dla n parzystego to
oczywiste,a dla n nieparzystego n^2 liczba nieparzysta plus
n nieparzysta - mamy liczbę parzystą),zatem 3*(n^2 + n +6) jest podzielną przez 6.Ze względu na dowolność liczby n mamy
koniec dowodu.

Answer 3

A)
∃t∈c 5^(5n-2)+3=4t

1. Szukam najniższej liczby naturalnej dla której twierdzenie jest prawdziwe.
n=1
L=5^(5n-2)+3=5³+3=128=4*32=|c∋t=32|=4t=P
2. ∀n≥1
Założenie: ∃t∈c 5^(5n-2)+3=4t
Teza: ∃u∈c 5^(5(n+1)-2)+3=4u
L= 5^(5(n+1)-2)+3=5^(5n+5-2)+3=5⁵*5^(5n-2)+3+9372-9372=
=3125*5^(5n-2)[phone]=3125*[5^(5n-2)+3]-9372=
=3125*4t-9372=4(3125t-2343)=|c∋u=3125t-2343|=4u=P
Wyjaśnienie: 3125t-2343 jest liczbą całkowitą, gdyż t jest liczbą całkowitą. Jest też równe naszemu u z tezy.

b)∃t∈c 4^n+15n-1=9t

1. Szukam najniższej liczby naturalnej dla której twierdzenie jest prawdziwe.
n=0
L=1-1=0=9*0=|c∋t=0|=9t=P

2. ∀n≥0
Założenie: ∃t∈c 4^n+15n-1=9t
Teza: ∃u∈c 4^(n+1)+15(n+1)-1=9u

L=4^(n+1)+15(n+1)-1=4*4^n+15n+15-1=4*4^n+60n-4-45n+18=
=4(4^n+15n-1)-45n+18=4*9t-45n+18=9(4t-5n+2)=|c∋u=4t-5n+2|=9u=P

c) ∃t∈c n^3+17n=6t

1. Szukam najniższej liczby naturalnej dla której twierdzenie jest prawdziwe.
n=0
L=0+0=6*0=|c∋t=0|=6t=P

2. ∀n≥0
Założenie: ∃t∈c n³+17n=6t
Teza: ∃u∈c (n+1)³+17(n+1)=6u

L=(n+1)³+17(n+1)=

Wzór: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

=n³+3n²+3n+1+17n+17=6t+3n²+3n+18=6t+3n(n+1)+18=6[t+(n(n+1)/2)+3]=|c∋u=[t+(n(n+1)/2)+3]|=6u=P

(n(n+1)/2) - jest liczbą całkowitą gdyż iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty czyli jest podzielny przez 2.