Question

Liczby naturalne parzyste od 2 do 100 zapisujemy kolejno jedna za drugą, tworząc liczbę naturalną a. Czy liczba a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej? wskazówka; zbadaj podzielność sumy cyfr

Answer 1

Ta liczba nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Zgodnie ze wskazówką, policzmy sobie sumę cyfr otrzymanej liczby...

A raczej policzmy, ile razy występuje w niej każda z cyfr...
Każda z cyfr występuje dokładnie 5 razy jako cyfra dziesiątek
Daje to 5 * (1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 5*45 = 225
Jako cyfra setek mamy tylko raz 1, co daje łącznie sumę 226

Pozstało jeszcze pozliczać cyfry jedności... występują tam tylko cyfry parzyste, czyli 2,4,6,8 (zero pomijamy, bo i tak nie mają wpływu na sumę)

każda z nich występuje dokładnie 10 razy (np. 2, 12, 22, ... 92)

czyli w sumie 10 * (2+4+6+8) = 10 * 20 = 200

Zatem suma cyfr tej liczby to 426 - ona się dzieli przez 3, czyli cała liczba dzieli się przez 3, ale nie dzieli przez 9, czyli liczba nie może być kwadratem, bo wtedy (skoro dzieli się przez 3) musiała by się dzielić jeszcze raz przez 3, cyzli przez 9 - a przez 9 się nie dzieli