Question

Liczby a,b,c są w podanej kolejności,kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy 5 , reszta z dzielenia wielomianu W(x)= x^3 + ax^2 + bx+c przez dwumian x-1 jest równa 7.Rozwiąż równanie W(x)=2x+7

To jest jedno zadanie.

Answer 1

 x^3 + ax^2 + bx +c : x-1 = x^2 +x(a+1) + a+b+1

-x^3 +x^2

-------------

        x^2(a+1) +bx

      -x^2(a+1) +(a+1)x

------------------------------

                        x(a+b+1) +c

                      -x(a+b+1) +a+b+1

                     -------------------------

                                         a+b+c+1

 

reszta  równa jest 7

a+b+c+1 =7

a+5=b

b+5=c=a+10

 

a+ (a+5) + (a+10) +1 = 7

3a + 16 = 7

3a = -9

a = -3

b=2

c=7

 

w(x) = x^3 -3x^2 +2x +7 = 2x+7

 

x^3 -3x^2  = 0

x^2(x - 3) = 0

x₁ = 0

x₂ = 3

 

Answer 2

a, b, c - kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego o różnicy 5, zatem:

b = a + 5

c = a + 10

 

Reszta z dzielenia wielomianu W(x)= x³ + ax² + bx + c przez dwumian x-1 jest równa 7,

zatem na podstawie tw. "Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - a) jest równa W(a)":

W(1) = 7

W(1) = 1³ + a·1² + b·1 + c = 1 + a + b + c

1 + a + b + c = 7

a + b + c = 7 - 1

a + b + c = 6

 

Stąd:

a + b + c = 6

a + a + 5 + a + 10 = 6

3a + 15 = 6

3a = 6 - 15

3a = - 9 /:3

a = - 3

 

b = a + 5

b = - 3 + 5

b = 2

 

c = a + 10

c = - 3 + 10

c = 7

 

W(x) = x³ + ax² + bx + c

W(x) = x³ - 3x² + 2x + 7

 

W(x )= 2x + 7

x³ - 3x² + 2x + 7 = 2x + 7

x³ - 3x² + 2x + 7- 2x - 7 = 0

x³ - 3x² = 0

x² · (x - 3) = 0

x² = 0 lub x - 3 = 0

 

x² = 0

x = 0

 

x - 3 = 0

x = 3

 

Odp. x = 0 i x = 3