Question

Liczby a, b są liczbami naturalnymi. Każda z nich jest iloczynem czterech liczb pierwszych. Ponadto NWD(a,b)=17 , NWW(a,b)=9180. Wyznacz liczby a, b.

Answer 1

niech a i b będą postaci:

a=A*B*C*D

b=E*F*G*H

, gdzie ABCDEFGH należą do liczb Naturalnych

ponaddto wiemy, iż NWD(a,b)=17, to oznacza, iż największym wspólnym dzielnkiem tych liczb jest 17. dodatkowo wiemy, iż ABCDEFGH są liczbami pierwszymi, więc wysuwa się nam od razu wniosek, iż jedną z tych liczb (a raczej dwie) to 17, gdyż NWD dwóch liczb, które nie są względnie pierwsze, tj. takich, które mają wspólny dzielnik 1 oraz inny niż 1 (np. 2, 3 itp. np. 6 i 8, NWD(6,8)=2). Dlatego też można zapisać prościej:

a=17ABC

b=17EFG

dodatkowo wiemy, iż NWW(a,b)=9180. Z rozkładu na czynniki pierwsze (czyli na iloczyn liczb pierwszych) mamy, że 9180=2*2*5*3*3*3*17 - łącznie 7 liczb. Na przykładzie pokażę NWW(10,8)=40, ponieważ 10=2*5, a 8=2*2*2. przy 10tce brakuje nam dwóch dwójek, a przy 8ce jednej 5. Tak samo robimy wcześniej, czyli ostatecznie mamy różne rozwiązania co do permutacji:

A,B,C,E,F,G=(2,2,2,3,3,5)

łącznie 60 różnych odpowiedzi. :) 

 

pozdrawiam ;)