Question

Ktoś zaczął palić papierosy po skończeniu 18 lat i od tej pory wydawał średnio po 120 zł miesięcznie. Jeśli miesięczny wydatek na papierosy wpłacałby do banku na początku każdego miesiąca, to jaką sumę zaoszczędziłby z końcem 30 roku życia ? Przyjmij oprocentowanie roczne banku 6% z kapitalizacją raz na miesiąc.

Answer 1

6% - 12 miesięcy

0,5 % - 1 miesiąc

 

1. miesiąc:

 

wpłacamy 120 zł, po miesiącu mamy 0,5% więcej, czyli 60 groszy.

 

120,6

 

dodajemy kolejne 120 zł i znowu od tych 120 zł wzrośnie 60 groszy, a od poprzednich 120,6 wzrośnie o 0,5% czyli 121,203 zł

 

itd. itd...

 

w każdym razie, trzeba każdorazowe wpłacane 120 zł traktować jakby osobno i doliczyć mu po 0,5% co miesiąc * ilość miesięcy od wpłaty do 30. roku życia.

 

Więc:

pierwsze 120 zł będzie na koncie przez okres 12 lat czyli 144 miesięcy

następne 120 zł będzie przez 143 miesiące

itd. itd.

 

za pierwszy miesiąc:

120*(100+0,5)% * (100+0,5)% * (100+0,5)% * (100+0,5)% * ... tak 144 razy

 

za drugi miesiąc:

 

120*(100+0,5)%*(100+0,5)% * (100+0,5)% * (100+0,5)% * ... 143 razy

 

Ogólnie takie mnożenie nazywa się ciągiem i to będą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego (takiego, gdzie cały czas mnoży się przez tą samą liczbę, w tym wypadku *100,5% lub jak kto woli *1,005, a to o co mnożymy jest określane literką q).

 

więc:

 

q=1,005

pierwszy wyraz ciągu to 120 zł (tyle wpłaci w dniu 30. urodzin, a następne pieniądze będą za coraz wcześniejsze miesiące)

 

No i teraz jest wzór na sumę wszystkich kolejnych wyrazów:

 

S = a₁*(1-q^n)/(1-q)

 

(^ - do potęgi, czyli tutaj q do potęgi n-tej; a₁ - pierwszy wyraz ciągu)

 

S = 120*(1-(1,005)^144)/(1-1,005)

 

1,005^144 będzie największym problemem, bo ciężko powiedzieć ile to może być, ale jest takie mądre urządzenie - wolfram alpha (nie wiem czy podawanie linków jest dozwolone) i z niego wynika, że:

1,005^144=2.05075

 

S= 120*(1-2.05075)/-0,005

S= 120*(-1.05075)*(-200)

S= 25218 zł

I to jest rozwiązanie (mogła być pomyłka przy liczeniu ilości wpłat, bo nie jestem pewien czy było ich 144 czy 145, więc wynik może być pomylony o około 120 zł)