Krok po kroku proszę, nie tylko ostatnie przekształcenie :)
ZADANIE 1
Uzasadnij, że liczba 2⁵⁰ + 2·2⁵⁰ + 4·2⁵⁰ jest podzielna przez 14.
ZADANIE 2
Uzasadnij, że liczba 16⁵ + 2¹⁵ jest podzielna przez 33.
ZADANIE 3
Uzasadnij, że liczba jest podzielna przez 14 dla n ≥1.
ZADANIE 4
Dla jakich liczba
jest podzielna przez 10?
ZADANIE 5
Podaj cyfrę jedności liczby, którą otrzymasz po wykonaniu działania 3³ + 4² +5³⁷.
ZADANIE 6
Oblicz ostatnią cyfrę liczby:
2¹⁰³, 3²⁰⁵, 84¹⁰⁵
ZADANIE 7
Wykaż, że dla każdego nieparzystego x liczba x³ + 3x² – x – 3 dzieli się przez 8.
ZADANIE 8
Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych, których największy wspólny dzielnik jest równy 13, a najmniejsza wspólna wielokrotność wynosi 2002.
ZADANIE 9
Dla jakich liczb a i b liczba 7-cyfrowa 43a562b jest podzielna przez 30.
ZADANIE 10
Wykaż, że różnica czwartych potęg dwóch liczb całkowitych różniących się o 2 jest podzielna przez 8.
ZADANIE 11
Jaką cyfrę jedności ma suma czterech kolejnych potęg liczby 3?
Odp. Liczba 3^n+7^n jest podzielna przez 10 dla kazdej n nieparzystej.
5.
3^3=27
4^2=16
5^{37} ma cyfre jednosci =5
iloczyn dowolnej ilosci 5 na koncu ma piec
7+6+5=18
Odp. Cyfra jednosci rowna jest 8.
6.
2^{103}
2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64 ...
Cyfra jednosci wystepuje tutaj okresowo{2,4,8,6}
103:4=25 r. 3
Cyfra jednosci bedzie trzecia cyfra z okresu, czyli 8.
3^{205}
Tutaj rowniez cyfry jednosci wystepuja cyklicznie {3,9,7,1}
205:4=51 r. 1
Cyfra jednosci =3
84^{102}
cyfry jednosci 4,6,4,6,...
84 do potegi parzystej ma cyfre jednosci =6
7.
x³+3x²-x-3=x²(x+3)-(x+3)=(x+3)(x²-1)=(x+3)(x-1)(x+1)
jezeli liczba x jest nieparzysta, to jest postaci x=2n+1
(2n+1+3)(2n+1-1)(2n+1+1)=2n(2n+4)(2n+2)=2n*2(n+2)*2(n+1)=8*n(n+2)(n+1) c.n.d.
8.
a=13n
b=13k
NWD(n,k)=1
NWW(n,k)=13nk=13*2002=26026
26026:13=2002
2*13=26 26026:26=1001
7*13=91 26026:91=286
11*13=143 26026:143=182
Odp. Sa to pary; (13 i 2002),(26 i 1001),(91 i 286),(143 i 182)
9.
Liczba ta jest podzielna przez 30, gdy dzieli sie przez 3 i przez 10
Cyfra jednosci b=0 i suma cyfr musi byc podzielna przez 3
4+3+a+5+6+2+0=20+a
a=1 v a=4 v a=7
b=0
10.
Na podstawie wzoru skroconego mnozenia
(a-b)^4=a^-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4
n^4-(n-2)^4=n^4-(n^4-8n^3+24n^2-32n+16)=8*(-n^3+3n^2-4n+2) c.n.d.
11.
Suma czterech kolejnych poteg liczby 3, patrz zad. 6.
cyfry te powtarzaja sie cyklicznie, co 4, a w sumie kolejnosc nie jest wazna:
3+9+7+1=20
Odp. Cyfra jednosci = 0.
Zadanie 1.
Zadanie 2.
Jak widać z powyższego liczba 16^5+2^{15} jest podzielna przez 33.
Zadanie 3.
Jak widać z powyższego liczba ta jest podzielna przez 14 dla n>1
Zadanie 4.
3^1+7^1 = 3+7 = 10
3^3+7^3=27+343=360
...
Z powyższego rozpisania widzać, iż dla n nieparzystych wyrażenie 3^n+7^n jest podzielne przez 10.
Zadanie 5.
Cyfry jedności:
3³ = 7
4² = 6
5³⁷= 5 (potęga liczby 5 zawsze będzie miała w cyfrze jedności 5)
Sumujemy teraz wszystkie cyfry jedności: 7+6+5=18, więc cyfrą jedności liczby 3^3+4^2+5^{37} jest cyfra 8
Zadanie 6.
Potęgi liczby 2 zawsze są parzyste, a to oznacza, że cyfra jedności także jest parzysta. Prześledźmy potęgowanie liczby 2:
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16
2^5 = 32
...
2^20 = 1048576
2^21 = 2097152
2^22 = 4194304
2^23 = 8388608
2^24 = 16777216
...
Jak widać, cyfry jedności układają się w kolejności 6, 2, 4, 8
Wiemy, że zwiększając potęgę o 1 nastąpi zmiana liczby jedności wg kolejności jak wyżej, czyli 6,2,4,8, możemy napisać, że:
2^100 - ma jedność wynoszącą: 6
2^101 - ma jedność wynoszącą: 2
2^102 - ma jedność wynoszącą: 4
2^103 - ma jedność wynoszącą: 8
Ostatecznie: liczba 2^103 ma jedność wynoszącą 8
3^205. Analogicznie, jak w powyższym przykładzie z potęgą 2.
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81
3^5 = 243
Cyframi jedności będą kolejno: 3, 9, 7, 1
Więc poprzez analogię:
3^200 - cyfrą jedności będzie 1
3^201 - cyfrą jedności będzie 3
3^202 - cyfrą jedności będzie 9
3^203 - cyfrą jedności będzie 7
3^204 - cyfrą jedności będzie 1
3^205 - cyfrą jedności będzie 3
Ostatecznie: liczba 3^205 ma jedność wynoszącą 3
84^102
Również przez analogię do powyższych obliczeń:
84^1 = 4
84^2 = 7056
84^3 = 592704
84^4 = 49787136
Jak zauważymy, zmieniają się miesjcami jedności dwie cyfry: 4 i 6. Również zauważmy, że nieparzyste potęgi liczby 84 stanowią cyfrę jedności wynoszącą 4, a parzyste cyfrę 6. Wobec tego:
Liczba 84^102 ma cyfrę jedności wynoszącą 6.
Zadanie 7.
Jak widać, liczba jest podzielna przez 8.
Zadanie 8:
NWD(x,y)=13
NWW(x,y)=2002
x*y=NWD(x,y)*NWW(x,y)=13*2002 = 26026
Rozkładamy liczbę 2002=2*7*11*13
13*2 = 26
13*7 = 91
13*11 = 143
Następnie:
26026/26 = 1001
26026/91 = 286
26026/143 = 182
Więc,szukane pary liczb to:
(13,2002); (26,1001); (91,286); (143,182)
Zadanie 9.
Liczba jest podzielna przez 30 wtedy, gdy dzieli się przez 10 i 3.
Korzystając z zasady podzielności liczb wynika, iż liczba podzielna jest przez 10, gdy ostatnia cyfra będzie zerem, więc: 43a562b dzieli się przez 10, gdy b=0. Wtedy liczba ma postać 43a5620.
Liczba dzieli się przez 3, wtedy, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3, wobec tego:
4+3+a+5+6+2+0 = 7+a+13=20+a
20+a dzieli się przez 3, gdy:
a=1 => 20+1=21 2+1=3 => 3:3=1
a=4 => 20+4=24 2+4=6 => 6:3=2
a=7 => 20+7=27 2+7=9 => 9:3=3
Wobec tego liczby podzielne przez 30 mają postać:
1) 4315620, 2) 4345620, 3) 4375620
Zadanie 10.
Liczba podniesiona do 4 potęgi: a^4
Liczba o 2 mniejsza podniesiona do 4 potęgi: (a-2)^4
Teraz należy wykonać potęgowanie różnicy (a-2)^4.
Korzystamy tutaj z tzw. trójkąta Pascala, w którym to przedstawione (obliczone) są współczynniki
Rozpiszmy wyrażenie (a-b)^4:
Teraz powstałe wyrażenie doprowadzimy do prostszej postaci:
W każdej liczbie pomnożonej przez 10 cyfrą jedności będzie zero, więc
cyfrą jedności 4 kolejnych potęg liczby 3 jest 0 (zero)