Question

Funkcja f spełnia (jednocześnie) warunki:

f(3-x) = f(x) oraz f(6-x) = f(x)

Pokazać, że funkcja f jest parzysta i okresowa.

Answer 1

F( 3 - x) = f(x)  i  f( 6 - x) = f(x)    =>    f( 3 - x) = f( 6 - x) = f( 3 + ( 3 - x)) =
= f( ( 3 - x) + 3)
czyli  f( y + 3) = f(y)    gdzie  y = 3 - x
a to oznacza, ze funkcja f jest funkcją okresową o okresie podstawowym T = 3.

Funkcja jest parzysta  gdy  f( - x) = f(x)
Sprawdzamy
f( - x) = f( 3 - ( - x) = f( 3 + x) = f( x + 3) = f(x), bo T = 3
oraz
f( -x) = f( 6 - ( -x)) = f( 6 + x) = f( x + 2*3) = f(x) , bo T = 3 

Funkcja f jest  okresowa i parzysta.