Question

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest trzy razy dłuższa od krawędzi jego podstawy, która ma długość a. Oblicz :

a) objętość ostrosłupa

b) tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy

Answer 1

a)

h - wyskość ostrosłupa

r = a

b = 3a

Z tw. Pitagorasa mamy

r^2 + h^2 = b^2

czyli

a^2 = h^2 = (3a)^2

h^2 = 9 a^2 - a^2 = 8 a^2

h = p ( 8 a^2) = 2 p(2) a

=======================

Pp = 6*[ a^2 p(3)/4] = 1,5 a^2 p(3)

Objętośc ostrosłupa

V = (1/3) Pp *h

V = (1/3)*1,5 a^2 p(3) *2 p(2) a = p(6) *a^3

==========================================

b)

h1 - wysokość trójkąta równobocznego o bokach długości a

h1 =  ap(3)/2

===============

tg alfa = h/h1 = [ 2 p(2)*a ]/[ 0,5 a p(3)] = 4 p(2)/ p(3) = (4/3) p(6)

tg alfa = (4/3) p(6)

====================

tg alfa = około  3,27

 

=================

Answer 2

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest trzy razy dłuższa od krawędzi jego podstawy, która ma długość a. Oblicz :

a) objętość ostrosłupa

krawdz podstawy =a

krawedz boczna b=3a

wysokosc bryly =H

przekatna  dluzsza podstawy=x

przekatna krotsza podstayw =y

wysokosc sciany bocznej=h

V=?

x=2a  to ½x=a

z pitagorasa:

a²+H²=b²

a²+H²=(3a)²

a²+H²=9a²

H²=9a²-a²

H²=8a²

H=a√8=2√2 a

Pp=3(a²√3)/2 

V=⅓·Pp·H=⅓· 3(a²√3)/2  ·2√2 a =a³√6

 

b) tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy

polowa krotszej przekatnej podstawy (szesciokata) to wysoksoc w Δ rownobocznym 

czyli:

y=a√3 to ½y =a√3/2  

tgα=H/(½y)

tgα=(2√2 a)/( a√3/2) =(2·2√2a)/a√3 =4√2/√3 =4√6/3