Question

KONIECZNIE NA DZISIAJ!!!!! PLIS!!!!!!!!!!!!!!!

Zbadaj monotonicznosc ciagu (an) okreslonego wzorem:

a) a(n)= 5n^2
b) a(n)= -n^2

c) a(n)= n^2-7n+10

Nawiasem zaznaczylem ta mala liczbe w indeksie

Answer 1

a)  a (n) = 5n²,      a (n+1) = 5(n+1)² = 5(n² +2n + 1) = 5n² + 10n + 5

    Badamy znak roznicy   a (n+1)  - a(n).

    a (n+1) - a (n) = 5n² + 10n + 5 - 5n² = 10n + 5   > 0    (  gdyz  n ∈ N⁺ )

    Poniewaz roznica   a (n+1) - a (n)  > 0,  wiec ciag  jest rosnacy.

b)  a (n) = - n²,     a (n+1) = - (n+1)² = - (n² +2n +1) = -n² -2n -1

     a (n+1) - a (n) = -n² -2n -1 + n² = -2n -1 = - (2n+1)  < 0

   Poniewaz roznica  a (n+1) - a (n)  < 0,  wiec ciag jest malejacy.

 

c)  a (n) = n² -7n + 10,        a (n+1) = (n+1)² -7(n+1) + 10 = n²+2n+1 -7n-7+10 = n²-5n+4

    a (n+1) - a (n) = n² -5n + 4 - (n² -7n +10) = n² -5n +4 -n² +7n -10 = 2n -6 = 2(n-3)

    Ciag ten nie jest ani rosnacy, ani malejacy, poniewaz znak  badanej roznicy  nie jest jednoznaczny  ( dla n=1 i n=2  znak jest ujemny,  ale dla n >3  znak roznicy jest dodatni).