Question

Jakie największe pole może mieć trójkąt prostokątny wpisany w okrąg o promieniu r? Proszę o pomoc. To bardzo pilne. Daję naj. Z góry bardzo dziękuję. Pozdrawiam ;)

Answer 1

Średnica tego okręgu musi być równocześnie przeciwprostokątną.
Czyli mamy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 2r, jednej przyprostokątnej x i drugiej równej
√(4r² - x²) . Jego pole wynosi x*√(4r² - x²) /2 = √[x²(4r² - x²)] /2
Pole to będzie największe, gdy wyrażenie podpierwiastkowe będzie największe
x²(4r² - x²) ---->max
podstawiamy x²=y i szukamy maximum funkcji kwadratowej 4r²y-y² , albo inaczej -y²+ 4r²y. 
Odcięta wierzchołka wykresu tej funkcji to y= -4r²/(-2) = 2r² (a parabola jest ramionami do dołu, więc to jest maximum).
Wracamy do x: x²=2r² ----> x= r√2 Zatem jedna przyprostokątna musi być równa r√2, druga wyjdzie tyle samo. Pole maksymalnego trójkąta wynosi r√2 * r√2 /2 = r^2.

Jest to oczywiście trójkąt prostokątny równoramienny. 
Stanowi on połowę kwadratu o przekątnej 2r, czyli o boku r√2.

Zadanie można też rozwiązać bez odwoływania się do funkcji kwadratowej.
Narysujmy okrąg o promieniu r, czyli o średnicy 2r i jakikolwiek trójkąt prostokątny wpisany w ten okrąg; jego przeciwprostokątna to średnica tego okręgu. Dorysujmy trójkąt symetryczny względem tej średnicy. Otrzymujemy deltoid o dłuższej przekątnej 2r, wpisany w okrąg. Jego pole jest równe połowie iloczynu przekątnych: 2r*2h/2 (h - wysokość trójkąta prostokątnego). Oczywiście pole deltoidu (a tym samym i trójkąta, będącego połówką tego deltoidu) jest największe, gdy ta druga przekątna jest najdłuższa, czyli gdy jest równa 2r. Wtedy deltoid jest kwadratem o polu 2r², a boku r√2, nasz trójkąt zaś trójkątem równoramiennym o polu r²
i ramionach długości r√2.