Jak rozwiązać ten układ równań z trzema niewiadomymi? __ x^2-(y-z)^2 = 1y^2-(z-x)^2 = 4z^2-(x-y)^2 =.... Question from @monisia1309955

monisia1309955 @monisia1309955

October 2018 1 27 Report

Jak rozwiązać ten układ równań z trzema niewiadomymi? __ x^2-(y-z)^2 = 1
y^2-(z-x)^2 = 4
z^2-(x-y)^2 = 9
__

Roma

{x² - (y - z)² = 1
{y² - (z - x)² = 4
{z² - (x - y)² = 9

{[x - (y - z)][x + (y - z)] = 1
{[y - (z - x)][y + (z - x)] = 4
{[z - (x - y)][z + (x - y)] = 9

{(x - y + z)(x + y - z) = 1
{(y - z + x)(y + z - x) = 4
{(z - x + y)(z + x - y) = 9

{(x - y + z)(x + y - z) = 1
{(x + y - z)(- x + y + z) = 4
{(- x + y + z)(x - y + z) = 9

z 1 równania otrzymujemy i podstawiamy do pozostałych równań:

$x - y + z = \frac{1}{x + y - z} \ i \ x + y - z = \frac{1}{x - y + z}$

z 2 równania otrzymujemy i podstawiamy do pozostałych równań:

$x + y - z = \frac{4}{- x + y + z} \ i \ - x + y + z = \frac{4}{x + y - z}$

z 3 równania otrzymujemy i podstawiamy do pozostałych równań:

$- x + y + z = \frac{9}{x - y + z} \ i \ x - y + z = \frac{9}{- x + y + z}$

Stąd otrzymujemy:

$\begin{cases} \frac{9}{- x + y + z} \cdot \frac{4}{- x + y + z} = 1 \\ \frac{1}{x - y + z} \cdot \frac{9}{x - y + z} = 4 \\ \frac{4}{x + y - z} \cdot \frac{1}{x + y - z} = 9 \end{cases}$

$\begin{cases} \frac{36}{(- x + y + z)^2} = 1 \\ \frac{9}{(x - y + z)^2} = 4 \\ \frac{4}{(x + y - z)^2} = 9 \end{cases}$

$\begin{cases} (- x + y + z)^2 = 36 \\ 4 \cdot (x - y + z)^2 = 9 \\ 9 \cdot (x + y - z)^2 = 4 \end{cases}$

$\begin{cases} (- x + y + z)^2 = 36 \\ (x - y + z)^2 = \frac{9}{4} \\ (x + y - z)^2 = \frac{4}{9} \end{cases}$

$\begin{cases} - x + y + z = \sqrt{36} \\ x - y + z = \sqrt{\frac{9}{4}} \\ x + y - z = \sqrt{\frac{4}{9}} \end{cases} \ lub \ \begin{cases} - x + y + z = -\sqrt{36} \\ x - y + z = -\sqrt{\frac{9}{4}} \\ x + y - z = -\sqrt{\frac{4}{9}} \end{cases}$

$\begin{cases} - x + y + z = 6 \\ x - y + z = \frac{3}{2} \\ x + y - z =\frac{2}{3} \end{cases}$

$\left \{ {{2z = 6 +\frac{3}{2}} \atop {2y = 6 +\frac{2}{3}}} \right.$

$\left \{ {{2z = \frac{12}{2} +\frac{3}{2}} \atop {2y = \frac{18}{3} +\frac{2}{3}}} \right.$

$\left \{ {{2z = \frac{15}{2} \ / : 2} \atop {2y = \frac{20}{3} \ / : 2}} \right.$

$\left \{ {{z = \frac{15}{4}} \atop {y = \frac{10}{3}}} \right.$

$x - y + z = \frac{3}{2}$

$x - \frac{10}{3}+ \frac{15}{4} = \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} + \frac{10}{3} - \frac{15}{4}$

$x = \frac{18}{12} + \frac{40}{12} - \frac{45}{12}$

$x = \frac{13}{12}$

$\begin{cases} x = \frac{13}{12} \\ y = \frac{10}{3} \\ z = \frac{15}{4}\end{cases}$

$\begin{cases} x = 1\frac{1}{12} \\ y = 3\frac{1}{3} \\ z = 3\frac{3}{4}\end{cases}$

$\begin{cases} - x + y + z = - 6 \\ x - y + z = -\frac{3}{2} \\ x + y - z = -\frac{2}{3} \end{cases}$

$\left \{ {{2z = - 6 - \frac{3}{2}} \atop {2y = - 6 - \frac{2}{3}}} \right.$

$\left \{ {{2z = - \frac{12}{2} - \frac{3}{2}} \atop {2y = - \frac{18}{3} - \frac{2}{3}}} \right.$

$\left \{ {{2z = - \frac{15}{2} \ / : 2} \atop {2y = - \frac{20}{3} \ / : 2}} \right.$

$\left \{ {{z = -\frac{15}{4}} \atop {y = -\frac{10}{3}}} \right.$

$x - y + z = - \frac{3}{2}$

$x - (- \frac{10}{3}) + (- \frac{15}{4}) = - \frac{3}{2}$

$x + \frac{10}{3}) - \frac{15}{4}) = - \frac{3}{2}$

$x = - \frac{3}{2} - \frac{10}{3} + \frac{15}{4}$

$x = - \frac{18}{12} - \frac{40}{12} + \frac{45}{12}$

$x = - \frac{13}{12}$

$\begin{cases} x = - \frac{13}{12} \\ y = - \frac{10}{3} \\ z = - \frac{15}{4}\end{cases}$

$\begin{cases} x = - 1\frac{1}{12} \\ y = - 3\frac{1}{3} \\ z = - 3\frac{3}{4}\end{cases}$

Odp.

$\begin{cases} x = 1\frac{1}{12} \\ y = 3\frac{1}{3} \\ z = 3\frac{3}{4}\end{cases} \ lub \ \begin{cases} x = - 1\frac{1}{12} \\ y = - 3\frac{1}{3} \\ z = - 3\frac{3}{4}\end{cases}$