Question

Jak opisać moc zbioru nieskończonego? proooosze o odp.

Answer 1

MOCE ZBIORÓW. ZBIORY NIESKOŃCZONE Badania nad mocami zbiorów są jednym z podstawowych działów teorii mnogości. Terminem pierwotnym jaki zostaje tu użyty jest termin równoliczność zbiorów, który to termin po raz pierwszy został sprecyzowany przez G. Cantora twórcę matematycznej koncepcji zbiorów. Def. 1.  Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje funkcja różnowartościowa   
f:  X® Y przekształcająca zbiór X na Y. Funkcja f ustala równoliczność zbiorów X i Y. Jeżeli zbiory X i Y są równoliczne, to piszemy X~Y. Ex. 47. Jeżeli  X={1, 2, 3, 4} a zbiór Y={2, 4, 6, 8}, to zbiory te są równoliczne, gdyż istnieje funkcja różnowartościowa f określona następująco f(x)=2x, która przekształca zbiór X na Y.
 
Własności równolicznościX ~ X
X~ Y® Y~ X
X~ Y Ů Y~ Z® X~ Z
 Zachodzi 1. gdyż istnieje Ix(x)=x, która przekształca X na X
 Zachodzi 2. gdyż  jeśli istnieje f przekształcająca X na Y , to istnieje f -1: Y® X, przekształcająca Y na X
 Zachodzi 3., gdyż jeśli istnieje  f: X® Y przekształcająca X na Y oraz jeśli istnieje g: Y® Z, to istnieje f o g: X® Z, które przekształca X na Z Określenie mocy zbioru Każdemu zbiorowi X przyporządkowana jest pewna własność zwana mocą zbioru lub liczba kardynalną, która nie zmienia się jeśli elementy zbioru X zastąpi się wzajemnie jednoznacznie przez inne elementy, a także wtedy gdy zmieni się uporządkowanie elementów zbioru X.. Liczbę kardynalną zbioru X oznaczamy przez  . Zachodzą następujące zależności
( = ) « X~ Y
Jeżeli  zbiór X jest zbiorem n -elementowym, to  = n Ex 48. Niech X={1, 4, 6, 9};  = 4. Jeśli X jest zbiorem pustym, to jego mocą jest liczba kardynalna n = 0 Zbiory skończone, nieskończone i przeliczalne
Def. 1.  X jest zbiorem skończonym wtw, gdy E nÎN  = n Def 2.  X jest zbiorem nieskończonym wtw, gdy ŘE nÎN  = n Def. 3  Jeżeli N jest zbiorem liczb naturalnym, to  = Ŕ0 (alef zero) Def. 4. Zbiorami przeliczalnymi nazywamy zbiory skończone lub nieskończone równoliczne ze zbiorem N. Ex. 49. Niech X będzie zbiorem liczb naturalnych parzystych, a Y zbiorem liczb naturalnych nieparzystych. Jakiej mocy są zbiory X i Y. liczę na Naj