Question

Ile wynosi stosunek pola koła opisanego na kwadracie do pola koła wpisanego w ten kwadrat? W odpowiedzi jest że to pierwiastek z dwóch, ale jak to udowodnić?

Answer 1

A               dl. boku kwadratu
r=(1/2)a      dl. promienia okregu wpisanego w kwadrat
R=(1/2)d     dl. promienia okregu opisanego na kwadracie

d=a√2        dl. przekatnej kwadratu

P1=πr²       pole kola wpisanego w kwadrat
P2=πR²      pole kola opisanego na kwadracie

P2 / P1=πR² / πr²
P2 / P1=R²/r²

P2 / P1=( R/r)²       

R/r=(a√2/2) : (a/2)=(a√2/2) *(2/a)=√2  stad

P2 / P1= (√2)²
P2 / P1=2   
                
Stosunek pol tych kol wynosi 2 
------------------------------------------------------  
Kazde dwa kola sa figurami podobnymi 

R/r=k                skala podobienstwa kol
 dla tych kol
R/r=√2  

stosunek pol figr podobnych jest rowny k²   
 A zatem  k²=(√2)²
                k²=2

Czyli  stosunek pol tych kol wynosi 2 ; natomiast  ich skala podobienstwa wynosi √2.