Question

II Konkurs Matematyczny Romy:)

Aby dostarczyć Wam trochę relaksu i rozrywki podczas długiego majowego weekendu możecie spróbować rozwiązać poniższe zadania :)) Pamiętacie znam prawidłowe rozwiązania tych zadań i aby uzyskać punkty należy rozwiązać WSZYSTKIE!

SAME ODPOWIEDZI BĘDĄ USUWANE - MUSI BYĆ PODANE ROZWIĄZANIE !!!!!!!!!!!!!!!!!!

GORĄCA PROŚBA DO SZANOWNYCH MODERATORÓW - DAJCIE SZANSĘ INNYM UŻYTKOWNIKOM I POWSTRZYMAJCIE SIĘ DO WTORKU Z ROZWIĄZYWANIEM PODANYCH ZADAŃ:) Dziękuję!

Zad. 1
Przez środek O kwadratu ABCD o boku równym 1 poprowadzono dowolną prostą k. Obliczy sumę kwadratów odległości tej prostej od czterech wierzchołków kwadratu.

Zad. 2
Ile lat ma stryj?
- Stryju, ile masz lat?
- Dwa razy tyle co kuzynka Ewa.
- A ile lat ma kuzynka Ewa?
- Trzy razy mniej od cioci Haliny.
- A ile lat ma ciocia Halina?
- Ciocia Halina ma 0 20 lat więcej od Zosi.
- A ile lat ma Zosia?
- Zosia ma 5 razy tyle co Ania.
- A ile lat ma Ania?
- Przestań nudzić... Za rok będzie miała 6 lat.
- Stryju, zaraz Ci powiem, ile Ty masz lat...

Zad. 3
Na Nowy Rok pewien farmer dał każdemu z trzech swoich synów tyle dolarów, ile każdy z nich miała lat, razem 24 dolary, ale przy tym wyraził takie żądanie: "Niech najmłodszy z Was połowę otrzymanych ode mnie pieniędzy zatrzyma sobie, a resztę podzieli na równe części między swych dwóch braci. Po tym podziale niech średni syn połowę pieniędzy, które ma zostawi sobie, a resztę podzieli na równe części między swych braci. Wreszcie niech to zrobi najstarszy z Was".
W rezultacie tych podziałów każdy z trzech braci otrzymał jednakową kwotę dolarów. Ile z każdy z braci miał lat?

Powodzenia!

Answer 1

1. (wybaczcie za niewyrazny rysunek)
Wyznaczamy dowolna prosta i rzutujemy wierzcholki. Budujemy kwadraty na tych bokach nowopowstalych trojkatow ktore nas interesuja. Po katach i wspolnej dlugosci jednego boku (tego nalezacego do kwadratu) wiemy ze trojkaty sa takie same, wiec pasuja na wskazane miejsca. Wystarczy zrobic to samo z druga polowka kwadratu.
Stad wiemy ze suma kwadratow odleglosci prostej od wierzcholkow rowna sie polu tego kwadratu, w tym przypadku 1.

2.
Odpowiedzi stryjka:
S=2*E
H=3*E
H=Z+20
Z=5*A
A=5
Wiec:
Z=25
H=45
E=15
S=30

3.
A+B+C=24 (A najmlodszy, C najstarszy)
Zostawiaja sobie polowe, i rozdaja 1/4 z tego co maja w tym momencie rodzenstwu.
Po rozdziale rzez najmlodszego
1/2A
B+1/4A
C+1/4A
Po rozdziale przez sredniego
9/16A + 1/4B
1/2B + 1/8A
C + 1/4B + 5/16A
Po rozdziale przez najstarszego
41/64A + 5/16B + 1/4C
13/64A + 9/16B + 1/4C
5/32A + 1/8B + 1/2C
W tym momencie maja tyle samo pieniedzy, wiec:
41/64A + 5/16B + 1/4C - 13/64A - 9/16B - 1/4C = 0 (najmlodszy - sredni)
Po uproszczeniu
B=7/4A
Mamy
76/64A + 1/4C
76/64A + 1/4C
12/32A + 1/2C
Ponownie odejmujemy
76/64A + 1/4C - 12/32A - 1/2C = 0
Po uproszczeniu
C=13/4A
Wiemy ze A+B+C=24 wiec
A + 7/4A + 13/4A = 24
A=4
B=7
C=13