Question

Hej. Potrzebuję pomocy przy dowodzeniu twierdzeń, nie wiem kiedy użyć dowodu wprost i niewprost, ogólnie potrzebuję wyjaśnienia co do początku tego dowodzenia, bo resztę jakoś rozumiem.
1. Wykaż, że jeśli x>1 i y<1, to xy 2. Wykaż, że jeśli x>2 i y>2, to xy+4>2(x+y).
3. Wykaż, że jeśli x^2 + y^2 =3 i x+y=-2, to xy=0,5
4. Wykaż, że jeśli a<-2 i b>0,5, to 2ab
Zależy mi na wytłumaczeniu tych zadać. Może jest jakiś sposób żeby rozpoznać kiedy jaki dowód stosować. Jutro piszę z tego poprawę, a nadal mam z tym spory problem.

Answer 1

1. Na początku zapisz sobie tezę, która musisz udowodnić, czyli:
t: xy < x + y - 1
Najpierw najlepiej rozpisz sobie to co wiesz czyli:
x - 1 > 0 ∧ y - 1 < 0.
Rozpisujesz teraz tezę, żeby zobaczyć to czego jesteś pewien.
 xy < x + y - 1
xy - x - y +1 < 0
x (y - 1) - (y-1) < 0
(y-1)(x-1) < 0
Masz teraz założenia, wiesz, że y - 1 jest ujemne zaś x - 1 dodatnie, więc musi być to ujemne. Co jest prawda.

2. t : xy + 4 > 2x + 2y
robimy tak jak poprzednio.
x - 2 > 0 ∧ y - 2 > 0
Jest to dokładnie takie samo zadanie jw.
xy + 4 - 2x - 2y > 0
x(y-2) -2(y - 2) > 0
(y-2)(x-2) > 0
Co widzimy, że jest prawdą, z założeń które są dodatnie.

3. x² + y² = 3
x + y = -2
t : xy = 0,5
To jest akurat bardzo proste. Podnosimy do kwadratu x + y = -2
(x+y)² = 4
x² + 2xy + y² = 4
Wiemy, że  x² + y² = 3, dlatego wstawiamy do wzoru
3 + 2xy = 4
2xy = 1
xy = 0,5
Czyli udowodniliśmy tezę.

4. t: 2ab < a+2 - 4b
Zadanie jak 1 i 2..
a+2 < 0 ∧ b - 0,5 > 0
Aby zniknely ulamki pomnożę *2
2b - 1 > 0
2ab - a - 2 +4b < 0
Teraz wyznaczamy czynniki.
a(2b-1) + 2(2b-1) < 0
(a+2)(2b-1) < 0
a+2 ujemne 2b - 1 dodatnie, z czego wynika, ze iloczyn ejst ujemny.