Question

hej mam prośbę mógłby mi ktoś jak najszybciej się da rozwiązać to zadanie ale tak ,żeby wytłumaczone było krok po kroku co muszę w nim wykonać , więc : Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie ABC, jeśli A=( 2,3 ) , B=( 0 , -3) i C=(5, -2)

jakby co to jest to zad. dla liceum nie gimnazjum , źle zaznaczyłam

Answer 1

 środek okręgu leży na przecięciu  symetralnych jego boków

 

inaczej :)  symetralna to taka prosta która jest  osią symetri  czegoś tam - tu  konkretnych boków

 

wybieramy dwa  dowolne  boki  np   AB

 

A=(2,3) ; B = (0,-3)

 

środek odcinka o znanych  końcach określonych w układzie współrzędnych   to  wartości średnie   odpowiednio współrzędnych  x  i współrzędnych y

 

O =  ((2+0)/2  ,  (3+(-3))/2 ) = ( 1 , 0 )

 

określamy współczyynik kierunkowy  prostej  ( a )  zawierającej odcinek  AB 

tzn  ile ygreków przyrasta nam na przyrost  jednego iksa :)

będziemy to potrzebować  dla  wyznaczenia równania prostej - symetralnej.

 

tutaj od razu widać  że a=3  - od punktu  B do punktu A  wartość X przyrosła  o 2 a wartość Y  o 6.  Dzielimy  przyrost  Y  przez przyrost  X  i otrzymujemy :

 

a= ΔY / ΔΧ  =  6 / 2  =  3

 

symetralna odcinka jest do niego prostopadła, znając  współczyynnik kierunkowy  prostej  do której należy   odcinek  AB   znamy  również  współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej   :)  jest  nim   minus  odwrotność  czyli  -1/3

 

 symetralna  odcinka  AB przyjmuje  zatem   równanie  : y = -1/3  x + b

 

nie znamy  współczynnika  b  ale znamy  jeden z punktów  przez który przechodzi ta prosta jest nim  punkt  O= (1,0)   podstawmy  współrzędne tego punktu  do tego  równania   obliczymy wtedy  parametr b

 

0 = - 1/3 · 1  + b

0= -1/3 + b

b = 1/3

 

ostatecznie  równanie  symetralnej odcinka AB  przyjmuje postać :  y = -1/3 x + 1/3

 

 

teraz analogicznie  wyznaczamy  symetralną  innego boku np  BC

 

środek  O  boku  BC:  O=  ( 2.5  , -2.5 ) 

 

współczynnik  kierunkowy prostej zawierającej odcinek  BC

 

a=  Δ Υ  /  ΔX  =  1/5

 

współczynnik kierunkowy  symetralnej  : -5

 

równanie symetralnej  odcinka  BC :   y = -5 x + b

 

podstawmy  znany nam punkt przez który przechodzi  ta  prosta  : O=  ( 2.5  , -2.5 ) 

 

obliczymy parametr  b :

 

-2,5 = -5 · 2,5 + b

 

b = - 2,5 + 12,5   = 10

 

ostatecznie  równanie  symetralnej  odcinka  BC  :  y = -5 x + 10

 

przecięcie tych prostych  jest  środkiem szukanego okręgu

 

rozwiązujemy układ równań:

 

y = -1/3 x + 1/3  

y = -5 x + 10

                        metodą przeciwnych współczynników  pierwsze równanie mnożę przez -1

 

-y = 1/3 x -1/3  

y = -5 x + 15

                        sumuję oba równania, otrzymuję :

 

0 = 1/3 x - 5 x  -1/3 + 10 = -14/3  x   + 29/3    

 

14/3 x = 29/3       mnożę obustronnie   przez  3

14 x = 29             dzielę obustronnie przez  14

x = 29/14 w przybliżeniu 2,07

 

obliczmy  y  korzystając z dowolnego równania z powyższego  układu równań podstawiając w miejce x obiczoną wartość

 

y = -5 x + 10 = -5 ·  29/14 + 10 = -5/14

 

y = -5/14 wprzybliżeniu -0,36

 

środek  szukanego okręgu  S = (29/14 , -5/14 )

 

w załączniku szkic  będący jednoczesy jednocześnie sprawdzeniem obliczeń :)