Question

Granaistosłup prawidłowy trójkątny o długości krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 1 cm przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędż podstawy i tworzy z postawą kąt dwuścienny α= 45 stopni. Oblicz pole powierzchni tego przekroju.

Answer 1

Gdyby graniastosłup był odpowiednio wysoki (co najmniej jak wysokość podstawy), to płaszczyzna przekroju byłaby trójkątem równoramiennym, którego podstawa jest długością podstawy graniastosłupa (trójkąta równobocznego), a wysokość byłaby przeciwprostokątną trójkąta o kącie przy podstawie równym 45 st., a więc równoramiennego. Ramię tego ostatniego trójkąta byłoby wysokością podstawy graniastosłupa. Do obliczenia pola przekroju nie potrzebna byłaby wielkość wysokości graniastosłupa.
Graniastosłup jest jednak niski, więc przekrój będzie przechodził przez płaszczyznę górnej podstawy. A więc będzie trapezem równoramiennym.
Długość krawędzi podstawy oznaczmy przez "a", wtedy wysokość podstawy wynosi h=a√3/2, zaś wysokość h' trapezu jest przeciwprostokątną trójkąta równoramiennego o ramionach równych wysokości H graniastosłupa i wynosi H√2, co można wyliczyć z tw. Pitagorasa, z funkcji sin 45°= H/h' = √2/2 albo po prostu pamiętać jak tabliczkę mnożenia.
Drugą podstawę b trapezu wyznaczymy z podobieństwa trójkątów (albo tw. Talesa):
a/b = h/(h-H)
b = a(h-H)/h
Pole trapezu:
P = ½h'(a+b)
Dane są a = 2 cm oraz H = 1 cm
Podstawiamy do wzorów:
h = 2√3/2 = √3
h' = 1*√2 = √2
b = 2(√3-1)/√3
P = ½√2[2+2(√3-1)/√3] = ½√2(2√3+2√3-2)/√3) =
½√2√3(4√3-2)/3 = ½√6*2(2√3-1)/3 = ⅓√6(2√3-1) [cm²]

Odp. Pole przekroju, który jest trapezem, wynosi ⅓√6(2√3-1) [cm²]