Question

Dam punkty, jeżeli ktoś zrobi zadania nr. : (plik do pobrania)

http://www.przeklej.pl/plik/geometria-plaszczyzna-pp-pdf-0023lja4c96u

zad.2, zad. 3, zad.4, zad.6, zad.7, zad. 8, zad.9

Bardzo proszę o zrobienie tych zadań, bo mi na nich bardzo zalezy.

Chciałabym, żeby zadania były rzetelnie zrobione, liczę na Waszą pomoc :)

Answer 1

2.

∢AOC=44 i jest kątem środkowym opartym na łuku AC. ∢ABC jako kąt wpisany oparty na łuku AC jest 2 razy mniejsze, czyli ∢ABC=22

ΔAOC jest równoramienny (AO=CO), więc ∢ACO = (180-44)/2= 68

∢ACB=68+49=117

∢BAC=180-117-22=41

 

3.

Wysokość dzieli podstawę a na odcinki e=10, f=6, e>f

Krótsza podstawa b = e - f = 10 - 6 = 4 (bo trapez równoramienny - zrób rysunek)

Dłuższa podstawa a = e+f=16

Ponieważ w trapez (czworokąt) można wpisać okrąg, to sumy boków przeciwległych są równe:

a+b=c+c

2c = 16+4=20

c = 10

h = √(c²-e²) = √(10²-6²) = 8

p = √[(e+f)² + h²) = √(16²+8²) = 8√5

 

4.

Wszystkie trójkąty, które pozostaną w danym czworokącie po wycięciu prostokąta, mają sumę kątów przylegających do prostokąta równą 90. Kąty te są równe parami na przeciwległych bokach danego czworokąta, ponieważ boki prostokąta są równoległe. Figurą jest więc na pewno równoległobok. Analizując dalej z własności równoległoboku wynika, że kąty naprzeciwległe są równe, więc ponieważ kąty trójkątów przeciwległych są jednakowe i mają wspólny jeden bok prostokąta, to trójkąty są przystające, a więc połówki boków danego czworokąta są równe, więc czworokąt jest rombem.

Rysunek w załączniku.

 

6.

∢AOC = 2α (z własności kąta środkowego i wpisanego)

∢CDO = 180-15-2α = ∢ADB

∢ABD+∢BDA+∢DAB=180

α + 180 - 15 - 2α + 40 = 180

α = 25

 

7.

Po narysowaniu promieni okręgu wpisanego r=12 przechodzących przez punkty styczności z trójkątem, zauważymy, że dostaniemy 3 pary przystających trójkątów prostokątnych, takich że:

a = r + x

b = r + y

c = x + y

skąd wyliczamy:

c = a - r + b - r = a + b - 2r

a + b = c + 2r

Ale mamy też:

a + b + c  = 154

c = 154 - (a + b)

c = 154 - c - 2r

2c = 154 - 2r

c = 77 - r

c = 77- 12 = 65

Ale wiemy z tw. o kącie środkowym i wpisanym, że każdy trójkąt prostokątny wpisany w okrąg ma przeciwprostokątną równą jego średnicy , czyli 2R.

Zatem 2R = c, skąd

R = c/2 = 32,5 cm

Rysunek w załączniku.

 

8.

c = 10

h = 8

Jeśli oznaczymy kąt ostry trapezu przez 2α, to z własności trapezu wynika, że drugi kąt wynosi 180-2α, a trójkąt, którego podstawą jest przekątna jest równoramienny, ponieważ kąt między przekątną a krótsza podstawą wynosi:

180 - α - (180-2α) = α. Czyli krótsza podstawa jest równa ramieniowi trapezu b = 10

Krótszy odcinek przy dłuższej podstawie f (patrz zad. 3) wyliczymy z tw. Pitagorasa:

f = √(c²-h²) = 6

Zatem podstawa dłuższa:

a = b + 2f = 22

Przekątna z Pitagorasa:

p = √[(b+f)²+h²] = √(16²+8²) = √[8²(2²+1)] = 8√5

Środkowa trapezu jest średnią arytmetyczna podstaw, co łatwo wykazać z tw. Talesa (f' = 1/2 f = 3):

s = (a+b)/2 = 16

Aby można było wpisać okrąg w czworokąt sumy boków przeciwległych muszą być równe. U nas: a+b=32 ≠ 2c = 20. Czyli w ten trapez nie można wpisać okręgu. Natomiast na nim można opisać okrąg, bo jest trapezem równoramiennym (sumy kątów przeciwległych są równe).

 

9.

Ten równoległobok jest rombem o boku 154/4=52 cm.

Oznaczmy połowy przekątnych przez 5x i 12x, bo ich stosunek wyniesie 10x:(24x)=5:12. Wówczas z tw. Pitagorasa mamy:

(5x)² + (12x)² = 52²

169x² = (13*4)²

169x² = 169*4²

x = 4

Przekątne:

10x = 40

24x = 96