Question

Geometria anlityczna na płaszczyźnie. Zadania w załaczniku. Są tylko 2

Answer 1

 

S =( -3 ; _4)  - środek okręgu stycznego wewnętrznie do okręgu o równaniu

x² + y²  + 12 x + 16 y = 0

Znajdź równanie prostej stycznej do obu okręgów.

-------------

Mamy

( x +6)² - 36 + (y + 8)² - 64 = 0

(x + 6)² = (y + 8)² = 100 = 10²

zatem  S1 = ( -6 ; - 8)  oraz  r1 = 10

Punkty S1, S, P  -leżą na jednej prostej

P  -  punkt styczności tych okregów

Mamy I S S1I² = [-6 -(-3)]² + [(-8 -(-4)]² = (-3)² + (-4)² = 9 + 16 = 25

zatem I S S1 I = √25 = 5

I S1 P I = r1 = 10

r = I SP I = r1 -  I S1S I = 10 - 5 = 5

Równanie okręgu o środku S = ( -3 ; -4)  i promieniu  r = 5

(x +3)² + ( y +4)² = 5² = 25

lub  x² + y² + 6x + 8y - 9 - 16 = 25

czyli  x² + y² + 6x + 8y = 0

--------------------------------------

Wyznaczmy punkt styczności P:

Mamy

x² + y² +12 x + 16 y = 0

x² + y² + 6x   + 8y  = 0

------------------------------ po odjęciu stronami mamy

6x + 8 y = 0

8y = - 6 x

y = (-6/8) x = (-3/4) x

wstawiamy do II równania za y

x² + [ (-3/4)x]²  + 6x + 8*{ (-3/4)x] = 0

x² + (9/16)x² + 6x - 6x = 0

x² [ 1 + 9/16] = 0

x = 0

------

y = (-3/4)*0 = 0

zatem P = (0 ; 0 )

=================

Prosta S1S

Mamy S1 = (-6 ; -8), S = ( -3; -4)

y = a x + b

-8 = -6a + b

-4 = -3a + b

-------------- po odjęciu stronami mamy

-8 + 4 = -6a + 3a

-4 = - 3a

a = 4/3

---------

b = -4 + 3a = -4 +3*(4/3) = -4 + 4 = 0

zatem pr S1 S  ma równanie

y = (4/3) x

==========

Prosta styczna do obu okręgów jest prostopadła do tej prostej i przechodzi

przez punkt P = (0; 0)

zatem

y = (-3/4)x + b

0 = (-3/4)* 0 + b

0 = 0 + b  --> b = 0

Odp.  y = (-3/4) x

============================================================

Δ ABC ; A = ( 2; 1)

oraz wektory: AB = [ 7 ; 3]  oraz  BC = [ -6 ; 1 ]

-----------------

Niech B = (x1; x2)  oraz C = (x2 ; y2)

Mamy

AB = [x1 -2; y1 - 1] = [ 7 ; 3 ]

czyli  x1 - 2 = 7  oraz  y1 - 1 = 3

x1 = 7+2 = 9  oraz  y1 = 3 + 1 = 4

Mamy  B = (9 ; 4)

================

Mamy

BC = [x2 - 9; y2 - 4] = [ -6 ; 1 ]

czyli

x2 - 9 = -6  oraz  y2 - 4 = 1

x2 = -6 +9 = 3  oraz  y2 = 1 = 4 = 5

Mamy C = ( 3 ; 5)

================

A = (2 ; 1), B = (9 ; 4), C = (3 ; 5)

Prosta AB

y = ax + b

1 = 2a + b

4 = 9a + b

------------- po odjeciu stronami mamy

4 - 1 = 9a - 2a

7a = 3

a = 3/7

------------

b = 1 -2a = 1 -2*(3/7) = 1 - 6/7 = 1/7

pr AB :

y = (3/7) x + 1/7

=================

Prosta zawierająca wysokość będzie prostopadla do pr AB oraz będzie

przechodzic przez punkt C,

zatem

y = (-7/3) x + b

5 = (-7/3)*3 + b

5 = -7 + b

b = 6+7 = 12

-----------------

Odp. y = ( -7/3) x + 12

=============================================