Question

Funkcja f określona jest wzorem f(x)=x2 + 2x + c.

1. Wyznacz te wartości współczynnika c, dla których wykres funkcji f przecina oś OX w dwóch punktach.

2. Wyznacz te wartości współczynnika c, dla których najmniejsza wartoścć funkcji f jest równa 3.

3. Wyznacz te wartości współczynnika c, dla których wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji f, należy do paraboli o równaniu y=2x2 - 7x + 1.

Proszę o obliczenia wraz z omówieniem.

Answer 1

f(x)=x²+2x+c

 

1)

 

Przecina oś ox w dwóch punktach, czyli ma dwa różne miejsca zerowe, jest to możliwe gdy  Δ>0

 

f(x)=x²+2x+c

 

a=1

b=2

c=c

 

Δ=4-4*1*c=4-4c

 

4-4c>0

-4c>-4

c<1

 

c∈(-∞,1)

 

2)

 

najmniejsza wartosc funkcji to 3

f(x)=x²+2x+c

 

a=1

b=2

c=c

 

Δ=4-4c

obliczamy wspolrzedne wierzcholka naszej funkcji

p=-b/2a=-1

q=-Δ/4a=(4c-4)/4=c-1

 

a>0 czyli ramiona skierowane są w górę, czyli druga wspolrzedna wierzcholka to najmniejsza wartosc

 

c-1=3

c=4

 

3)

 

W-wierzchołek

W=(-1,c-1)

 

podstawiamy do rownania paraboli wspolrzedne wierzcholka

-1=x

y=c-1

 

c-1=2(-1)²-7(-1)+1

c-1=2+7+1

c=10+1

c=11

 

Wierzcholek nalezy do paraboli dla c=11