Question

Dwie równoległe płaszczyzny przecinają kulę i wyznaczają przekroje o polach 49pi i 4pi. odległość między tymi przekrojami wynosi 9. oblicz pole powierzchni kuli

Answer 1

P1 - pole I przekroju kuli
P1 = 49 π
P2 - pole II przekroju kuli
P2 = 4 π
r1 - promień I przekroju
r2 - promień II przekroju
r - promień kuli
P1 = π(r1)² = 49 π ---> (r1)² = 49
r1 = √49 = 7
P2 = π(r2)² = 4 π ---> (r2)² = 4
r2 = √4 = 2
d = 9 - odległość miedzy przekrojami
Na rysunku - cięciwy przedstawiają przekroje, O -środek koła odpowiada środkowi kuli ,r - długość promienia koła -
długości promienia kuli.
Mamy AB cięciwa o długości 2*r1 = 14,
CD cięciwa o długości 2 r2 = 4.
x - odległość cięciwy AB od środka koła.
E - środek cięciwy AB, a F - środek cięciwy CD.
Rozpatrzmy trójkąty prostokątne: Δ AEO i Δ COF
Mamy
x = EO
r = AO = CO, AE = 7 , CF = 2
OF = EF - x = d - x = 9 - x
x² + 7² = r²
(9 -x)² + 2² = r²
----------------------
x² + 49 = r²
81 - 18 x + x² +4 = r²
--------------------------
I) x² + 49 = r²
II ) x² - 18 x + 85 = r²
-------------------------
Od równania II odejmujemy równanie I i otrzymujemy
-18 x + 36 = 0
18x = 36
x = 2
Wstawiamy x = 2 do równania I
2² + 49 = r²
r² = 49 = 4 = 53
r = √53
P = 4 π r² - pole powierzchni kuli ( sfery)
P = 4 π *53 = 212 π jednostek kwadratowych.