Question

Dwa sąsiednie boki równoległoboku zawierają się w prostych o równaniach x-y-1=0 i x-2y=0. punkt przecięcia przekątnych tego równoległoboku ma współrzędne (3,-1). Napisz równania prostych, które zawierają pozostałe boki tego równoległoboku.

Answer 1

Mamy proste o równaniach ogólnych

x - y - 1 = 0   oraz   x - 2y = 0

czyli postaci kierunkowej

y = x -1     oraz   y = 0,5 x

Niech  C będzie punktem wspólnym danych prostych czyli wierzchołkiem

równoległoboku ABCD

Mmay

x - 1 = 0,5 x

0,5 x = 1

x = 2

y = 0,5*2 = 1

zatem  C = ( 2 ; 1)

Punkt A jest symetryczny do C w symetrii środkowej o środku S = (3 ; - 1),

zatem  S  jest środkiem odcinka AC

Niech A = (x1; y1)

więc

[ x1 + 2]/2 = 3  oraz   [ y1 + 1]/2 = -1

x1 + 2 = 3*2 = 6  oraz  y1 + 1 = -1*2 = - 2

x1 = 4                oraz      y1 = - 3

czyli

A = ( 4 ; - 3)

==============

Szukam teraz równania prostej równoleglej do prostej o równaniu

y = 0,5 x  przechodzacej przez punkt A

Mamy

y = 0,5 x + b

-3 = 0,5 *4 + b

-3 = 2 + b

b = -3 - 2 = - 5

zatem mamy równanie

y = 0,5 x - 5

=============

Szukam teraz punktu wspólnego tej prostej  i prostej o równaniu

y = x - 1

Mamy

0,5 x - 5  = x - 1

x - 10 = 2x - 2

2x - x = -10 + 2

x = - 8

----------

y = -8 - 1 = - 9

---------------------

więc

D = ( -8 ; - 9 )

==============

Szukam teraz punktu B symetrycznego do D w symetrii środkowej

o środku S = ( 3 ; - 1)

Niech  B = ( x2; y2)

zatem

[- 8 + x2]/2 = 3   oraz  [ -9 + y2 ]/2 = - 1

-8 + x2 = 3*2 = 6  oraz   -9 + y2 = -1*2 = - 2

x2 = 6 + 8 = 14    oraz           y2 = -2 + 9 = 7

więc

B = ( 14 ; 7 )

=============

Szukam teraz równania prostej równoleglej do prostej o równaniu

y = x - 1  przechodzacej przez punkt B

Mamy

y = x + b2

7 = 14 + b2

b2 = 7 - 14 = - 7

zatem

y = x - 7

=============

Odp.

y = 0,5 x - 5  ( pr AD ) ; y = x - 7  ( pr AB )

==========================================

lub w postaci ogólnej

 

0,5x -y - 5 = 0;    x - y - 7 = 0

=============================================