dwa bokki trójkąta mają długość 7 i 8 a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy pierwiaste.... Question from @freja96

November 2018 1 22 Report

dwa bokki trójkąta mają długość 7 i 8 a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy pierwiastek z 5 . wiedząc , ze pole trójkąta wynosi 12 pierwiastków z 5 , oblicz sinusy kątów tego trójkąta.

bardzo proszę o pomoc w rozwiązanku tego zadania i o wytłumaczenie , nie wiem kompletnie o co chodzi i jak zacząc : <

Roma

a, b, c - długość boków trójkąta

r - promień okręgu wpisanego w trójkąt

P - pole trójkąta

α - miara kąta między bokami o długości a i b

β - miara kąta między bokami o długości b i c

γ - miara kąta między bokami o długości a i c

a = 7

b = 8

r = √5

P = 12√5

Długość trzeciego boku trójkąta c obliczymy ze wzoru na pole trójkąta, gdy dana jest długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt oraz długości boków trójkąta:

$P= \frac{a+ b + c}{2} \cdot r$

Zatem:

$12 \sqrt{5}= \frac{7+ 8 + c}{2} \cdot \sqrt{5} \ \ /: \sqrt{5} \\\\ 12 = \frac{15+ c}{2} \ \ / \cdot 2 \\\\ 15 + c = 24 \\\\ c = 24 - 15 \\\\ c = 9$

Sinusy kątów trójkąta obliczymy ze wzoru na pole trójkąta, gdy dane są długości dwóch boków i kąt zawarty między tymi bokami:

$P= \frac{1}{2} \cdot ab \cdot sin \ \alpha$

Stąd:

a = 7, b = 8, α - miara kąta między bokami o długości a i b

$12 \sqrt{5}= \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot sin \ \alpha \\\\ 12 \sqrt{5}= 28 \cdot sin \ \alpha \ \ / : 28 \\\\ sin \ \alpha =\frac{12 \sqrt{5}}{28} \\\\ sin \ \alpha =\frac{3 \sqrt{5}}{7}$

b = 8, c = 9, β - miara kąta między bokami o długości b i c

$12 \sqrt{5}= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot sin \ \beta \\\\ 12 \sqrt{5}= 36 \cdot sin \ \beta \ \ / : 36 \\\\ sin \ \beta =\frac{12 \sqrt{5}}{36} \\\\ sin \ \beta =\frac{\sqrt{5}}{3}$

a = 7, c = 9, γ - miara kąta między bokami o długości a i c

$12 \sqrt{5}= \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot sin \ \gamma \\\\ 12 \sqrt{5}= \frac{63}{2} \cdot sin \ \gamma \ \ / : \frac{63}{2} \\\\ sin \ \gamma=\frac{12 \sqrt{5}}{1} \cdot \frac{2}{63} \\\\ sin \ \gamma =\frac{8\sqrt{5}}{21}$