Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de temperatura, en los que un objeto absorbe calor del medio circundante. Para dichos casos, se puede establecer la Ley de enfriamiento o calentamiento de Newton que dice:
“La temperatura de un cuerpo se modifica a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el cuerpo y el medio externo, siempre que el medio mantenga constante su temperatura”.
dT/dt= k(T-T_a)
En ese sentido, dicho fenómeno se presenta frecuentemente en la vida cotidiana y se puede aplicar en el siguiente caso: Una pequeña lámina de metal, cuya temperatura inicial es de 20 °C, se introduce en un recipiente que contiene agua hirviendo. ¿Cuánto tiempo le llevará a la lámina alcanzar los 90° C, si se sabe que su temperatura se incrementó en 2° C en un segundo, cuánto le llevará alcanzar los 98° C respectivamente?
a. 82.1 s.
b. 145.75 s.
c. 87.4 s.
d. 158.94 s.
“La temperatura de un cuerpo se modifica a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el cuerpo y el medio externo, siempre que el medio mantenga constante su temperatura”.
dT/dt= k(T-T_a)
En ese sentido, dicho fenómeno se presenta frecuentemente en la vida cotidiana y se puede aplicar en el siguiente caso: Una pequeña lámina de metal, cuya temperatura inicial es de 20 °C, se introduce en un recipiente que contiene agua hirviendo. ¿Cuánto tiempo le llevará a la lámina alcanzar los 90° C, si se sabe que su temperatura se incrementó en 2° C en un segundo, cuánto le llevará alcanzar los 98° C respectivamente?
a. 82.1 s.
b. 145.75 s.
c. 87.4 s.
d. 158.94 s.
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RESPUESTA:
Para resolver este ejercicio inicialmente debemos resolver la ecuación diferencial, tenemos:
dT/dt= k(T-Ta)
Separamos y tenemos que:
dT/(T-Ta) = k·dt
Procedemos a integrar.
∫dT/(T-Ta) =∫ k·dt
Ln(T-Ta) = k·t + C
Despejamos a T, tenemos:
T = C·e^(kt) + Ta
Procedemos a buscar los valores de C y de k, tenemos dos condiciones:
Sustituimos condiciones y tenemos:
20ºC = Ce^(0·k) + 100ºC
C = -80ºC
---------------------------------------
22ºC = -80e^(1·k) + 100ºC
-78ºC = -80e^(k)
k = -0.02531
-----------------------------------------
Nuestra ecuación será:
T = -80·e^(-0.02531t) + 100ºC
1- Cuanto le llevará alcanzar 90ºC, entonces:
90ºC = -80·e^(-0.02531t) +100ºC
-10/-80 = e^(-0.02531t)
ln(1/8) = -0.02531t
t = 82,1 s → OPCIÓN A
Tarda 82.1 segundos para llegar a 90ºC.
2- Cuanto tardará en llegar a 98ºC.
98 - 100 = -80·e^(-0.02531t)
-2/-80 = e^(-0.02531t)
ln(2/80) = -0.02531t
t = 145.75 s → OPCIÓN B
Por tanto tarda 145.75 segundos en llegar a 98ºC.