Question

Drut o długości 100 cm podzielono na dwie części: z jednej zbudowano kwadratową ramkę, a z drugiej okrąg. Jaka powinna byc długośc każdej części, aby suma pól figur ograniczonych drutem była najmniejsza?

Answer 1

Te części mają długości :

x  oraz   100 - x

Z drutu o długości x  budujemy kwadratową ramkę , zatem

4a = x

a = x/4

========

Z drutu o długości   100 - x   budujemy okrąg, zatem

2 pi r = 100 - x

r = ( 100 - x)/ (2 pi)

P  - suma pól kwadratu i koła

P = a^2 + pi r^2 = (x/4)^2 + [ ( 100 - x)/(2 pi)]^2

P = x^2/16 + [10 000 - 200 x + x^2]/(4 pi^2 )

P = ( pi x^2)/(16 pi) + [ 40 000 - 800 x + 4 x^2]/(16 pi )

P = [ (4 + pi) x^2  - 800 x + 40 000]/ ( 16 pi )

============================================

Mianownik jest liczbą dodatnią , zatem ułamek jest najmniejszy, gdy

licznik jest najmniejszy.

a = 4 + pi > 0  , zatem funkcja

L(x) = ( 4 + pi)x^2 - 800 x + 40 000

posiada najmniejszą wartość dla   x = p

p = - ( - 800] / [ 2*( 4 + pi)] = 400/( 4 + pi)

Mamy dwa kawałki  drutu o długościach :

x = 400/( 4 + pi ) cm = około 56 cm

oraz  100 - x  = około 44 cm

===========================