Question

Drut długości 100cm podzielono na dwie części: z jednej zbudowano kwadratową ramkę, a z drugiej okrąg. Jaka powinna być długość każdej części, aby suma pól figur ograniczonych drutem była najmniejsza?

Answer 1

DANE DLA KWADRATU
P=a²
Ob=4a
P=(¼*Ob)²

DANE DLA OKRĘGU
P=πr²
Ob=2πr

r=Ob/2π
P=1/2*Ob*Ob/2π
P=½*Ob²/2π

x-obwód kwadratu

y-obwód okręgu

Suma pól figur:
(1/4*x)²+1/2*y²/2π
y=100-x

Obliczenia:
(1/4*x)² + 1/2*(100-x)²/2π=1/16x²+1/2*(10000-200x+x²)/2π=

1/16x²+(5000-100x+1/2x²)/2π=1/8πx²+5000-100x+½x²=
x²(1/8π+1/2)-100x+5000

Zapis w postaci funkcji:
f(x)=x²(1/8π+1/2)-100x+5000
Wykres tej funkcji: parabola mająca ramiona skierowane w górę, więc:

* najmniejsza wartość: x dla wierzchołka. Liczymy 1 współrzędną wierzchołka:
x=-b/2a
x=100/2*(1/8π+1/2)=100/(1/4π+1)=100/((π+4)/4)
x =400/(π+4)~56 cm

 

y=100-x

y=100-56=44 cm
Drut podzielono na odcinki o długości 56cm i 44cm.