Question

Do wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax2+bx+c należy punkt A=(1,0), a wierzchołek paraboli ma współrzędne W=(−3,2). Współczynniki tej funkcji są równe: a= b= c= .

Obwód prostokąta jest równy 40. Wyznacz długości boków tego prostokąta, jeśli wiesz, że kwadrat długości jego przekątnej jest najmniejszy z możliwych.

Uzupełnij odpowiedź.

Answer 1

f(x) = a x^2 + b x + c

A = ( 1; 0) należy do wykresu danej funkcji, więc

f(1) = 0

W = ( - 3; 2)   czyli  p = - 3,    q = 2

Z postaci kanononicznej    f(x)  =a *( x - p)^2 + q   po podstawieniu a  p   i  q

otrzymamy

f(x) = a *( x - ( -3))^2 + 2 = a*( x + 3)^2 + 2

f(1 ) = 0, więc

a*( 1 + 3)^2 + 2 = 0

a* 4^2 + 2 = 0

16 a = - 2

a = -  1/8

 

czyli   f(x) =  ( - 1/8)*(  x + 3)^2 + 2  =  (-1/8)*(  x^2 + 6 x + 9)  + 2 =

= ( -1/8) x^2 - (6/8) x - ( 9/8)  + 16/8 = ( -1/8) x^2  - (3/4) x  + 7/8

Mamy

f(x) = ( - 1/8) x^2 - (3/4) x  + 7/8

czyli

a = - 1/8 ,   b =  - 3/4  ,  c =  7/8

========================

z.2

2 a + 2 b = 40  / : 2

a + b = 20  =>   b =  20 - a

zatem

c^2 = a^2 + b^2  = a^2 + ( 20 - a)^2 = a^2  + 400 - 40 a + a^2 = 2 a^2 - 40 a +400

Prawa strona jest funkcją kwadratową o współczynniku  przy a^2  równym  1  > 0, zatem

przyjmuje najmniejszą wartośc  dla  a = p  = 40 / 4 = 10

Wtedy  b =  20 - a  = 20 - 10  =10

a = b = 10

=============

Wtedy prostokąt jest kwadratem.