Question

do funkcji :

a) y= -2(x+1)(x-3)
b) y= 3(x-2)^2 +1

PS. tylko ten nawias ---> (x-2) do potęgi 2

dopisz:
1) miejsca zerowe
2) współrzędne wierzchołka
3) rownanie osi symetrii
4) zbior wartosci
5) wartosc max lub min
6) przedzialy monotonicznosci
7) wartosci dodatnie , ujemne :)

Answer 1

a)       y = - 2(x+1)(x-3)

        Przekształcę tę funkcję do postaci :

           y = -2(x² -3x +x -3) = -2(x² -2x -3) = -2x² +4x +6

       

      1)    x₁ = -1,  x₂ = 3

      2)   W(p,q),   p= -b / 2a = -4 / -4 = 1,      q = f(p) =f(1) = -2 +4 +6 = 8 ,    W (1, 8)

      3)   Oś symetrii ma równanie:    x = p ,    czyli    x = 1

      4)  Zbiór wartości to:    Y = (-∞, q >,    czyli   Y = (-∞, 8 >

      5)  y max = 8  dla x = 1,      y min  -  nie istnieje

      6)  Funkcja rosnąca w przedziale  (-∞, 1), a malejąca w przedziale  (1, ∞).

      7)  Dla podania wartości dodatnich i ujemnych potrzebuję miejsca zerowe:

                Δ = b² -4ac = 4² - 4·(-2)·6 = 16 + 48 = 64,          √Δ = 8

          

                    - b - √Δ          -4 -8             -12  

             x₁ = -------------- = ------------- = ------------ = 3

                     2a                   2·(-2)          -4

 

                    -b + √Δ            -4 +8            4

            x₂ = --------------- = -------------- = ----------- = -1

                      2a                    -4               -4       

 

        y > 0  dla  x ∈ ( -1, 3),         y < 0   dla   x ∈ ( -∞, -1 ) U ( 3, ∞)

 

b)     y = 3(x -2)² + 1

           y = 3( x² -4x + 4) + 1 = 3x² -12x +12 + 1 = 3x² -12x + 13

       Δ= b² -4ac = (-12)² -4·3·13 = 144 - 156 = -12  <0

     1)   Brak miejsc zerowych   (Δ < 0).

     2)   W(p,q):     p = -b / 2a = 12 / 6 = 2,        q = -Δ / 4a = 12 / 12 = 1

            W( 2, 1)

     3)  Równanie osi symetrii:    x = p,    x = 2

     4)  Zbiór wartości:   Y = < q, ∞),   czyli    Y = < 1, ∞).

     5)  y max -   nie istnieje,       y min = 1 dla  x = 2.

     6)  Funkcja malejąca w przedziale   (-∞, 2),   a  rosnąca w przedziale  ( 2, ∞).

     7)  y > 0    dla  x ∈ R       (wykres w całości znajduje sie powyżej osi X)

          y < 0    dla  x ∈ Ф.