Question

Dla kazdej liczby b rownanie 2y=½x²-bx+2 opisuje pewna parabole. Wyznacz wszystkie wartosci parametru b, dla ktorych wierzcholek paraboli lezy nad osia OX

Answer 1

2y=½x²-bx+2
y=¼x²-½bx+1

a=¼
b=-½b
c=1

żeby wierzchołek leżał nad osią X, to jego współrzędna q musi być dodatnia, a więc:
q>0
-Δ/4a>0
-Δ>0
Δ<0

b²-4ac<0
¼b²-1<0
Δ=1
√Δ=1
b₁=(-b-√Δ)/2a=-1/½=-1*2=-2
b₂=(-b+√Δ)/2a=1/½=1*2=2

Ramiona paraboli są skierowane w górę, a więc warunek ten jest spełniony dla b∈(-∞,-2)∨ (2,+∞)

Answer 2

2y=½x²-bx+2 /:2 ; y=¼x²-½bx+1 ; Δ=(-½b)²-4×¼×1 ; Δ=¼b²-1 ; W=(xw,yw)-współrzędne wierzchołka paraboli ; xw=-b/2a ; xw=-(-½b)/2×¼=½b/½=b ; yw=-Δ/4a=-(¼b²-1)/4×¼=-¼b²+1/1=-¼b²+1 ; Wierzchołek paraboli będzie leżał ponad osią OX , gdy yw≠0 ; -¼b²+1≠0 ; b≠2 i b≠-2 ;