Question

Dla jakiej wartości parametru m równanie ma 2 pierwiastki których suma odwrotności jest dodatnia.
x²-2x(m-5)+m²+3m+2=0
proszę razem z osiami w załączniku nawet w paincie malowane mogą być oby, ładne i dokładne rozwiązanie.

Answer 1

X²-2x(m-5)+m²+3m+2=0

1/x₁+1/x₂>0 => sprowadzamy do wspólnego mianownika
(x₁+x₂)/x₁x₂>0 => (x₁+x₂>0 i x₁x₂>0) lub (x₁+x₂<0 i x₁x₂<0)

Wzory Viete'a
x₁+x₂=-b/a=-2(m-5)/1=-2m+10
x₁x₂ = c/a=(m²+3m+2)/1=m²+3m+2

-2m+10>0 => -2m>-10 => 2m<10 => m<5
m²+3m+2>0 => Δ=9-8=1 √Δ=1 x₁=(-3-1)/2=-2 x₂=(-3+1)/2=-1 =>
(m+2)(m+1)>0

x₁+x₂>0 <=> m∈(-∞;5)
x₁x₂>0 <=> m∈(-∞;1)+(2;+∞)
sumując dwa powyższe zbiory m∈(-∞;1)+(2;5)

x₁+x₂<0 <=> m∈(5;+∞)
x₁x₂<0 <=> m∈(1;2)
sumując dwa powyższe wzory m∈Ф

Odp. Dla m∈(-∞;1)+(2;5) równanie ma 2 pierwiastki których suma odwrotności jest dodatnia.