Question

Dla jakich wartosci parametru "a" uklad

ma trzy rozwiazania

Answer 1

pierwsze równanie opisuje dwie proste prostopadłe:

 

drugie równanie to równanie okręgu o środku w punkcie i promieniu

 

Rysunek na którym umieścimy wszystkie trzy elementy (proste oraz okrąg) będzie symetryczny względem prostej y = 0 (bo środek okręgu na niej leży). Czyli jeżeli okrąg przecina figurę złożoną z dwóch prostych pod prostą y = 0 to nad osią symetrycznie musi się znajdować drugi punkt przecięcia. Dlatego, aby otrzymać nieparzystą liczbę przecięć jeden z punktów przecięcia musi leżeć na prostej y = 0:

 

Teraz wystarczy sprawdzić, czy dla otrzymanych wartości otrzymujemy zadaną liczbę rozwiązań. Proste y = x oraz y = - x nie są styczne do okręgu, ponieważ w (0, 0) (ich punkt przecięcia z okręgiem) styczna ma równanie x = 0. Nie są styczne, a przecinają okrąg, więc są siecznymi. Każda sieczna przecina okrąg dokładnie w dwóch punktach. Jeden punkt jest wspólny, drugie nie może być ponieważ proste proste prostopadle mają dokładnie jeden punkt wspólny więc mamy w sumie trzy punkty przecięcia.

 

ostatecznie: