Dla jakich wartości parametru p równanie x^4 + (p+1)x^2 + p^2 -1 =0 ma dokładnie dwa rozwiązania.... Question from @Cupris

hans

u=x²

u²+(p+1)u+(p²-1)

Waruki:

w/w musi miec jedno rozwiazanie dodatnie

lub dwa rozwiazania ale jedno dodotnie drugie ujemne

lub minim f(x)=0

Δ=(p+1)²-4(p-1)(p+1)=(p+1)(p+1-4p+4)=(p+1)(5-3p)

Δ=0 gdy p=-1 lub p=5/3

Obliczam

uo=(-p-1)/2

dla p=-1⇒uo=0 ⇒x²=0 daje jedno rozwiazanie

dla p=5/3

uo=(-p-1)/2=(-5/3-1)/2 <0 brak rozwiazan

Sprawdzam dwa rozwiazania:

Δ>0 ∧ x1·x2<0

(p+1)(5-3p)>0

p∈(-1,5/3)

x1·x2<0 ze wzorow Viata

(p²-1)<0

(p-1)(p+1)<0

p∈(-1,1)

cz. wspolna

p∈(-1,1)

ODP:

p∈(-1,1)

test p=0

u²+u-1=0

Δ=1+4=5

√Δ=√5

u1<0 u2>0 OK

Teraz czesc ktora wymaga pochodnych

y=x⁴+(p+1)x²+(p²-1)

y'=4x³+2(p+1)x

y'=0

Narazie zostawiam ale zobatrz na drugi zalacznik

pytanie czy w/w funkcja moze przyjac taki ksztalt

Moim zdaniem bez wyzszej matematki nie mozna tego rozwiazac ale na lekcji mozesz poruszyc taki problem

Pozdrawiam

Hans

rzuc okiem na moj program

do wykresow:

http://l5.pk.edu.pl/~kraus/bryly_3d/

Roma

$x^4 + (p+1)x^2 + p^2 -1 =0$

Podstawiamy t = x²

$t^2 + (p+1) \cdot t + p^2 -1 =0$

Aby wyjściowe równanie miało dokładnie dwa pierwiastki, to powyższe równanie kwadratowe musi mieć tylko jeden pierwiastek dodatni. Zatem musimy sprawdzić, kiedy równanie t² + (p + 1)·t + p² - 1 = 0 ma pierwiastki, czyli Δ ≥ 0

$t^2 + (p+1) \cdot t + p^2 -1 = 0$

$a = 1; \ b = (p+1); c = p^2 -1$

$\Delta = (p+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p^2 -1) = p^2 + 2p + 1 - 4p^2 + 4 =\\\ - 3p^2 + 2p + 5 \geq 0$

Znajdujemy miejsca zerowe:

$- 3p^2 + 2p + 5 = 0$

$a = - 3; \ b = 2; \ c = 5$

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot (- 3) \cdot 5 = 4 +60 = 64$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{64} = 8$

$p_1 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot (- 3)} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3} \\\ p_2 = \frac{-2 +8}{2 \cdot (- 3)} = \frac{6}{-6} = -1$

Zaznaczamy miejsca zerowe - 1 i ⁵/₃ na osi i rysujemy przybliżony wykres - parabolę, której ramiona skierowane są w dół, bo a = - 3 < 0. Z wyresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności - 3p² + 2p + 5 ≥ 0, czyli zbiór argumentów p, dla których wartości są większe lub równe zero:

$p \in \langle -1; \ \frac{5}{3} \rangle$

Sprawdzimy kiedy równanie t² + (p + 1)·t + p² - 1 = 0 ma tylko jeden z pierwiastek dodatni (t > 0).

1° Δ = 0

- dla p = ⁵/₃ otrzymujemy:

$t^2 + (\frac{5}{3} +1) \cdot t + (\frac{5}{3})^2 -1 =0 \\\ t^2 + (\frac{5}{3} +\frac{3}{3}) \cdot t + \frac{25}{9} -\frac{9}{9} =0 \\\ t^2 + \frac{8}{3}t + \frac{16}{9} =0 \\\ \Delta = (\frac{8}{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{16}{9} = \frac{64}{9} - \frac{64}{9} = 0\\\ t_o = \frac{-\frac{8}{3}}{2 \cdot 1} = - \frac{8}{3} : 2 = -\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{4}{3} < 0$

Zatem p = ⁵/₃ nie spełnia warunku: t > 0, czyli $p \neq \frac{5}{3}$

- dla p = - 1 otrzymujemy:

$t^2 + (- 1+1) \cdot t + (-1)^2 -1 =0 \\\ t^2 + 0 \cdot t + 1 - 1 = 0 \\\ t^2 = 0 \\\ t = 0$

Zatem p = - 1 nie spełnia warunku: t > 0, czyli $p \neq - 1$

2° Δ > 0, to aby równanie t² + (p + 1)·t + p² - 1 = 0 miało tylko jeden dodatni pierwiastek, to pierwiastki te muszą być różnych znaków, czyli na podstawie wzorów Viète’a: t₁ · t₂ < 0. Stąd:

Biorąc pod uwagę wszystkie warunki:

$p \in \langle -1; \ \frac{5}{3} \rangle \ i \ p \neq \frac{5}{3}; \ i \ p \neq - 1 \ i \ p \in (- 1; 1)$

ostatecznie otrzymujemy:

$p \in (- 1; 1)$

Odp. Dla p ∈ (-1; 1) dane równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.

Punkt materialny wykonujący drgania harmoniczne o okresie T jest w chwili czasu to=0 w maksymalnej odległości od położenia równowagi. Ciało będzie wychylone o 60 stopni w chwili: A. t=T/8 B. t=T/6 C. t=T/4 D. t=T/2

Kazda z N kulek rteci promieniach r naladowNo do potencjalu V. Wszystkie takie kulki zlewaja sie w jedna duza kule. Jaki bedzie potencjal tej kuli?

Witam, pytanie w załącznikuDaję aż 150 punktów, bo oczekuje perfekcyjnie zaplanowanego planu wycieczki.Daję naj za zadowalającą mnie odpowiedźBezsensowne odpowiedzi będą natychmiast zgłaszane

Witam, pytanie w załącznikuOczekuję prawidłowej odpowiedzi, za najbardziej dokładną daję NAJ

Witam, pytanie w załącznikuProszę wybrać jeden z trzech tematów.Bezsensowne odpowiedzi będą od razu zgłaszanęDaję naj za najbardziej wyczerpującą i dokładną odpowiedź

Oblicz resztę z dzielenia wielomianu w przez wielomian u, nie wykonując dzielenia.

Dla jakich wartości parametru m równanie ma cztery różne pierwiastki?

Obliczyć wartość funkcjifw punktach, w których

Dzień dobryZad 1.Znaleść maximum funkcji

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social