Dla jakich wartości parametru m równanie x^2 - (m+1)│x│+1=0 ma cztery różne rozwiązania ? Bardzo bar.... Question from @Haniula22

December 2018 1 65 Report

Dla jakich wartości parametru m równanie x^2 - (m+1)│x│+1=0 ma cztery różne rozwiązania ? Bardzo bardzo proszę o pomoc

Paawełek Pierwszy przypadek. x>0 (nie piszę że x=0 bo 0 nie spełnia tej równości).
dla x>0 |x|=x więc mamy równanie:
$x^2-(m+1)x+1=0$
Muszą je spełniać dwie liczby i obie muszą być dodatnie. Skoro mają być dodatnie to musi zajść:
$x_{1}+x_{2}>0 \\ x_{1} \cdot x_{2}>0 \\ \hbox{Czyli ze wzorow Viete'a:} \\ x_{1}+x_{2}>0 \\ -\frac{b}{a}>0 \\ \frac{m+1}{1}>0 \\ m>-1 \\ \\ \hbox{Oraz:} \\ \frac{c}{a}>- \\ \frac{1}{1}>0 \\ \hbox{Co jest prawda.}$
Ponadto delta musi być dodatnia, aby były dwa rozwiązania:
$\Delta>0 \\ (m+1)^2-4>0 \\ (m+1+2)(m+1-2)>0 \\ (m+3)(m-1)>0 \\ m\in (-\infty, -3)\cup(1,+\infty) \\ \hbox{Ale majac na uwadze ze} \ \ m>-1 \ \ \hbox{mamy:} \\ m\in (1,+\infty)$

Teraz x<0. Wówczas |x|=-x i mamy równość:
$x^2+(m+1)x+1=0$
Muszą ją spełniać dwie ujemne liczby więc musi zachodzić tuutaj:
$x_{1}x_{2}>0 \qquad (\hbox{co jest prawda)} \\ \\ x_{1}+x_{2}<0 \\ -\frac{b}{a}<0 \\ -\frac{m+1}{1}<0 \\ m+1>0 \\ m>-1$
Delta jest taka sama jak poprzednio oraz m>-1 jak poprzednio więc rozwiązaniem również będzie $m\in(1,+\infty)$

Co jest końcowym wynikiem, bo jest to część wspólna tych zbiorów

7 votes Thanks 23