Dla jakich wartości parametru m równanie -x^2+ (m -3) │x│= 0,25 (m^2 -1) nie ma rozwiązań ?.... Question from @Haniula22

December 2018 1 55 Report

Dla jakich wartości parametru m równanie -x^2+ (m -3) │x│= 0,25 (m^2 -1) nie ma rozwiązań ?

Roma $-x^2+ (m -3)|x| = 0,25 (m^2 -1) \\\\ -x^2+ (m -3)|x| - 0,25 (m^2 -1)= 0 \ / \cdot (-1) \\\\ x^2-(m -3)|x| +0,25 (m^2 -1) = 0 \\\\ |x|^2-(m -3)|x| +0,25 (m^2 -1) = 0 \\\\ |x|=t \geq 0 \\\\ t^2-(m -3) \cdot t +0,25 (m^2 -1) = 0 \\\\
a= 1; \ b = -(m-3); \ c= 0,25(m^2-1)$

To równanie nie będzie miało rozwiązań, gdy:
Δ < 0 lub Δ ≥ 0 i t < 0, czyli gdy pierwiastki równania będą ujemne. Dwie liczby są ujemne, to ich suma jest też ujemna, a iloczyn dodatni. Zatem, korzystając ze wzorów Viete'a otrzymujemy:
$t_1+t_2= - \frac{-(m-3)}{1} = m - 3 \ \textless \ 0 \\\
i \\\
t_1 \cdot t_2= \frac{0,25(m^2-1))}{1} = 0,25(m^2-1) \ \textgreater \ 0$

Stąd otrzymujemy, że równanie nie będzie miało rozwiązań, gdy:
$\Delta \ \textless \ 0 \ \vee \ (\Delta \geq 0 \ \wedge m - 3 \ \textless \ 0 \ \wedge \ 0,25(m^2-1) \ \textgreater \ 0) \\\\ 
\Delta = [-(m-3)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,25(m^2-1) = (m-3)]^2 - (m^2-1)= \\\\
=m^2-6m+9 -m^2+1=-6m+10$

$1^o \ \Delta \ \textless \ 0 \\\\
-6m +10 \ \textless \ 0 \\\\
-6m \ \textless \ -10 \ /:(-6) \\\\
m \ \textgreater \ \frac{-10}{-6} \\\\
m \ \textgreater \ \frac{5}{3} \\\\
m \ \textgreater \ 1 \frac{2}{3}$

$2^o \ \Delta \geq 0 \ \wedge m - 3 \ \textless \ 0 \ \wedge \ 0,25(m^2-1) \ \textgreater \ 0 \\\\ 2.1^o \Delta \geq 0 \\\\ -6m +10 \geq 0
 \\\\ -6m \geq -10 \ /:(-6) \\\\ m \leq \ \frac{-10}{-6} \\\\ m \leq \frac{5}{3} \\\\ m \leq 1 \frac{2}{3} \\\\ 2.2^o \ m - 3\ \textless \ 0 \\\\ m \ \textless \ 3 \\\\ 2.3^o \ 0,25(m^2-1) \ \textgreater \ 0 \ / \cdot 4 \\\\ m^2 - 1 \ \textgreater \ 0 \\\\ m^2 - 1 = 0 \\\\ (m-1)(m+1) = 0 \\\\ m-1 = 0 \ \vee \ m+1= 0$

$m = 1 \ \vee \ m = -1 \\\\ Zatem: \ m^2 - 1 \ \textgreater \ 0 \ dla \ m \in (-\infty; -1)\cup (1; +\infty)$

Stąd:
$m \in (-\infty; -1) \cup (1; 1 \frac{2}{3} \rangle$

Biorąc pod uwagę oba warunki, otrzymujemy:
$( m \ \textgreater \ 1 \frac{2}{3} \ \vee \ m \in (-\infty; -1) \cup (1; 1 \frac{2}{3} \rangle) = m \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$

Odp. Równie nie ma rozwiązań dla: $m \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$