Dla jakich wartości parametru m równanie (m-2)x^4 - 2(m+3)x^2 +m - 1 = 0 ma cztery pierwiastki?.... Question from @Cupris

Cupris @Cupris

October 2018 1 67 Report

Dla jakich wartości parametru m równanie (m-2)x^4 - 2(m+3)x^2 +m - 1 = 0 ma cztery pierwiastki?

Roma

$(m-2)x^4 - 2(m+3)x^2 +m - 1 = 0$

Podstawiamy t = x², t > 0

$(m-2)t^2 - 2(m+3) \cdot t +m - 1 = 0$

Aby wyjściowe równanie miało cztery pierwiastki, to powyższe równanie musi być kwadratowe, czyli:

$m - 2 \neq 0$

$m \neq 2$ , czyli

$m \in \(-\infty; \ 2) \cup (2; \ \infty)$

oraz musi mieć dwa pierwiastki dodatnie, czyli Δ > 0 i na mocy wzorów Viete’a t₁ + t₂ > 0 oraz t₁ · t₂ > 0, bo wtedy pierwiastki będą dodatnie.

$(m-2)t^2 - 2(m+3) \cdot t +m - 1 = 0$

$a = m - 2; \ b = - 2(m+3); c = m - 1$

$\Delta = [- (2m + 3)]^2 - 4 \cdot (m-2) \cdot (m - 1) = 4m^2 + 12m + 9 - \\\ 4 \cdot(m^2-m -2m + 2) = 4m^2 + 12m + 9 - 4 \cdot (m^2 - 3m + 2) = \\\ 4m^2 +12m + 9 -4m^2 +12m - 8 = 24m +1\\\ \\\ \Delta > 0 \\\ 24m +1 > 0 \\\ 24m > - 1 \ /:24 \\\ m > -\frac{1}{24}, \ czyli \\\ m \in (-\frac{1}{24}; \ \infty)$

$t_1 + t_2 = \frac{-b}{a} = \frac{2(m + 3)}{m - 2} = 2 \cdot \frac{m + 3}{m - 2} \\\ \\\ t_1 + t_2 > 0\\\ 2 \cdot \frac{m + 3}{m - 2} > 0 \ /: 2 \\\ \frac{m + 3}{m - 2} > 0 \\\ (m + 3)(m - 2) > 0 \\\ Szukamy \ miejsc \ zerowych: \\\ (m + 3)(m - 2) = 0 \\\ m + 3 = 0 \ lub \ m - 2 = 0 \\\ m = - 3 \ lub \ m = 2$

Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowna w górę, bo współczynnik przy m² jest równy 1, czyli większy od zera. Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności:

$x \in (- \infty; \ - 3) \cup (2; \ + \infty)$

$t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a} = \frac{m - 1}{m - 2} \\\ \\\ t_1 \cdot t_2 > 0\\\ \frac{m - 1}{m - 2} > 0 \\\ (m -1)(m - 2) > 0 \\\ Szukamy \ miejsc \ zerowych: \\\ (m - 1)(m - 2) = 0 \\\ m - 1 = 0 \ lub \ m - 2 = 0 \\\ m =1 \ lub \ m = 2$

Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę, której ramiona są skierowna w górę. Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności:

$x \in (- \infty; \ 1) \cup (2; \ + \infty)$

W ostatecznym rozwiązaniu uwzględniamy wszystkie warunki dla parametru m:

$m \in \{[(-\infty; \ 2) \cup (2; \ \infty)] \cap (-\frac{1}{24}; \ \infty) \cap [(- \infty; \ - 3) \cup (2; \ \infty)] \\\ \cap [(- \infty; \ 1) \cup (2; \ + \infty)] \} =(2; \ \infty)$

Odp. Równanie ma cztery pierwiastki dla $m \in (2; \ \infty)$

1 votes Thanks 0

Punkt materialny wykonujący drgania harmoniczne o okresie T jest w chwili czasu to=0 w maksymalnej odległości od położenia równowagi. Ciało będzie wychylone o 60 stopni w chwili: A. t=T/8 B. t=T/6 C. t=T/4 D. t=T/2

Answer

Cupris April 2019 | 0 Replies

Dobry wieczór chciałbym abyście sprawdzili czy poprawnie zostały napisane odpowiedzi na dwa zadane krótkie formy wypowiedzi. Jestem przekonany że coś mogłoby być lepiej napisane więc jeśli dostrzezecie jakiekolwiek błędy i je poprawcie albo zaproponujecie lepsze rozwiązanie, docenie to najlepsza odpowiedzią. Także proszę o szczere odpowiedzi. Pozdrawiam!

Answer

Cupris January 2019 | 0 Replies

Kazda z N kulek rteci promieniach r naladowNo do potencjalu V. Wszystkie takie kulki zlewaja sie w jedna duza kule. Jaki bedzie potencjal tej kuli?

Answer

Cupris November 2018 | 0 Replies

Witam, pytanie w załącznikuDaję aż 150 punktów, bo oczekuje perfekcyjnie zaplanowanego planu wycieczki.Daję naj za zadowalającą mnie odpowiedźBezsensowne odpowiedzi będą natychmiast zgłaszane

Answer

Cupris November 2018 | 0 Replies

Witam, pytanie w załącznikuOczekuję prawidłowej odpowiedzi, za najbardziej dokładną daję NAJ

Answer

Cupris November 2018 | 0 Replies

Witam, pytanie w załącznikuProszę wybrać jeden z trzech tematów.Bezsensowne odpowiedzi będą od razu zgłaszanęDaję naj za najbardziej wyczerpującą i dokładną odpowiedź

Answer

Cupris October 2018 | 0 Replies

Punkt materialny wykonujący drgania harmoniczne o okresie T jest w chwili czasu to=0 w maksymalnej odległości od położenia równowagi. Ciało będzie wychylone o 60 stopni w chwili: A. t=T/8 B. t=T/6 C. t=T/4 D. t=T/2

Kazda z N kulek rteci promieniach r naladowNo do potencjalu V. Wszystkie takie kulki zlewaja sie w jedna duza kule. Jaki bedzie potencjal tej kuli?

Witam, pytanie w załącznikuDaję aż 150 punktów, bo oczekuje perfekcyjnie zaplanowanego planu wycieczki.Daję naj za zadowalającą mnie odpowiedźBezsensowne odpowiedzi będą natychmiast zgłaszane

Witam, pytanie w załącznikuOczekuję prawidłowej odpowiedzi, za najbardziej dokładną daję NAJ

Witam, pytanie w załącznikuProszę wybrać jeden z trzech tematów.Bezsensowne odpowiedzi będą od razu zgłaszanęDaję naj za najbardziej wyczerpującą i dokładną odpowiedź

Oblicz resztę z dzielenia wielomianu w przez wielomian u, nie wykonując dzielenia.

Dla jakich wartości parametru m równanie ma cztery różne pierwiastki?

Obliczyć wartość funkcjifw punktach, w których

Dzień dobryZad 1.Znaleść maximum funkcji

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social