Question

Dla jakich m i n wielomian W(x)= x3+mx+n ma trzy pierwiastki x1 x2 x3 gdzie x1=x2=x3-3

Answer 1

Wielomian W(x) ma mieć 3 pierwiastki:
x₁ x₂ oraz x₃

Zatem możemy zapisać:
W(x) = (x - x₁) * (x - x₂) * (x - x₃)

Wiadomo, że x₂ = x₁ oraz x₃ = x₁ + 3.

Zatem:
W(x) = (x - x₁) * (x - x₁) * (x - (x₁ + 3))
W(x) = (x² - 2 * x * x₁ + x₁²) * (x - (x₁ + 3))
W(x) = x * ((x² - 2 * x * x₁ + x₁²)) - (x₁ + 3) * (x² - 2 * x * x₁ + x₁²)
W(x) =x³ - x² * 2 * x₁ + x * x₁² - (x₁ + 3) * x² + x * 2 * x₁ * (x₁ + 3) - x₁² * (x₁ + 3)

W(x) =x³ - x² * (2 * x₁ + x₁ + 3) + x * (x₁² + 2 * x₁ * (x₁ + 3)) - x₁² * (x₁ + 3)

Zatem przyrównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach x tego wielomianu oraz wielomianu danego w treści zadania:
1 = 1
2 * x₁ + x₁ + 3 = 0 => x₁ = -1
m = x₁² + 2 * x₁ * (x₁ + 3) => m = 1 - 2 * (-1 + 3) = 1 - 4 = -3
n = - x₁² * (x₁ + 3) = - 1 * (-1 + 3) = -2

Odp. Warunki zadania są spełnione dla m=-3 i n=-2.

Answer 2

Dla jakich m i n wielomian W(x)= x3+mx+n ma trzy pierwiastki x1 x2 x3 gdzie x1=x2=x3-3→x3=x1+3

W(x)= x3+mx+n
W(x)=(x-x1)(x-x1)(x-x1-3)=(x-x1)²(x-x1-3)=(x²-2x1x+x1²)(x-x1-3)=
x³-x1x²-3x²-2x1x+2x1²+6x1+x1²x-x1³-3x1²

x3+mx+n =x³-x1x²-3x²-2x1x²+2x1²x+6x1x+x1²x-x1³-3x1²

-x1-3-2x1=0→x1=-1
m=2x1²+6x1+x1²→m=2-6+1=-3
n =-x1³-3x1²→n=1-3=-2

czyli m=-3, n=-2